r(t)=(cos(t),sin(t),t)をt=t(s)と変数変換して|r'(s)|=1となるよう

r(t)=(cos(t),sin(t),t)をt=t(s)と変数変換して|r'(s)|=1となるようなt(s)の逆関数s=t^-1(t)を求めて下さい.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/22 22:54

r'(t) = ( -sin(t), cos(t), 1 ),

|r'(t)| = √{ (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2 } = √2.
t = s/√2 と変換すれば、
dr/ds = (dr/dt)(dt/ds) = r'(t)/√2.
この式を見ると、
|dr/ds| = |r'(t)|/√2 = √2/√2 = 1.
かつ dr/ds // dr/dt となっている。　←こっちも重要じゃないのかな？

この回答へのお礼

|dr/ds|=|(dr/dt)(dt/ds)|=1を満たすdt/dsを考えれば良いという事でしょうか?

お礼日時：2019/03/22 23:58

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/23 01:22

＞|dr/ds|=|(dr/dt)(dt/ds)|=1を満たすdt/dsを考えれば良いという事でしょうか?

そうじゃないかなあと思って、そのように回答してみました。
曲線の媒介変数を t から s へと変換するとき、
|dr/ds| = |dr/dt| |dt/ds| は常に成り立ちます。合成関数の微分です。
|dr/ds| = 1 を要請するのであれば、
|ds/dt| = |dr/dt| が必要十分条件となります。
ds/dt = |dr/dt| は、それより強い条件ですが、十分条件となるので、
s = ∫|dr/dt|dt ならよいわけです。
この式の右辺は「弧長積分」と呼ばれるもので、r が表す曲線の弧長を与えるので、
s は弧長パラメータと呼ばれます。
今回質問では、 |dr/dt| が定数でしたが、一般には t の関数となるので、
この式で s が t の関数として表されるのです。

この回答へのお礼

結局t(s)は１つだけとは限らないのでしょうか？

お礼日時：2019/03/23 10:14

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/23 13:26

＞結局t(s)は１つだけとは限らないのでしょうか？

質問の意図がよく判りませんが...
ds/dt = |dr/dt| の替りに ds/dt = -|dr/dt| でもよいこと
s = ∫|dr/dt|dt に積分定数が付くことを考えると、
１つだけではありませんね。