複素数、√

正の実数aに対して、√aの定義とはaの平方根x^2=aの解ｘの正のほうです。
負の数に関してもたとえば、－５の平方根は±√５iがありますが、√－５は√５iのほうを指します。

複素数に関して、wikipediaでは、ｚ＝r(cosθ＋isinθ）のとき、√ｚ＝√ｒ（cos(θ/2)＋isin(θ/2))と定義されています。
したがって、√i=(1+i)/√２を指します。
しかし、https://math-jp.net/2017/03/20/square-root-of-co …のように、√ｚはｚの平方根を表すと定義しているものも多くみられます。
２つ定義をあげましたが、どちらが一般的なのですか？
必要に応じて使い分けるのですか？

質問者からの補足コメント

• もう一度読み返すと、r>0,-π＜θ≦πと制限がついていました。
  実軸の負の部分を除くガウス平面 C の全域で至る所正則である。しかし実軸の負の部分上では連続でさえない。これを2枚のガウス平面を実軸の負の部分で張り合わせた平方根函数のリーマン面上で考えるならば、至る所解析的である。
  ＞＞とのことなので、不便な点もあるようですね。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/30 20:08

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/30 19:00

「ｚ＝r(cosθ＋isinθ）のとき」だけでは、z から r,θ の組を一意に決めることはできません。

r は r≧0 を要請することで一意になりますが、r>0 の場合にも θ は
z に当てはまる θ の一つを θ1 として θ = θ1 + 2πn (nは自然数) の不定性を持ちます。
これを「√ｚ＝√ｒ（cos(θ/2)＋isin(θ/2))」へ代入すると、n が偶数のときと奇数のときで
√z は異なる値になってしまいます。つまり、そのwikipediaの定義は √z を一意に定義せず、
リンク先のほうの定義と同じことを言っていることになります。

この点を修正して、類似の方法で √z を一価関数にするには、「ｚ＝r(cosθ＋isinθ）のとき」
で r,θ を定めるときに、r≧0 と併せて -π<θ≦π とか 0≦θ<2π などの制限を設けて
θ を一意に決めておけばよいです。実数の範囲でも、逆三角関数などはこんな感じの方法で
定義しますよね。　ただし、これをすると √z が z≠0 全体で正則ではなくなってしまうので、
多価関数として定義しておいて、毎回枝の確認をしながら使うのとどちらがいいかは一長一短です。