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青チャート 整数の性質 練習 108全てが分かりません。
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A 回答 (4件)

n^2+6n-27 = (n-3)(n+9).


(n-3)(n+9) が素数になるためには
(n-3) または (n+9) が 1 か -1 でなければならない。

n-3 = 1 のとき、 n^2+6n-27 = n+9 = 13 は素数である。
n-3 = -1 のとき、 n は自然数でない。
n+9 = 1 のとき、 n は自然数でない。
n+9 = -1 のとき、 n は自然数でない。

n^2-16n+39 = (n-3)(n-13).
(n-3)(n-13) が素数になるためには
(n-3) または (n-13) が 1 か -1 でなければならない。

n-3 = 1 のとき、 n^2+6n-27 = n-13 = -9 は自然数でない。
n-3 = -1 のとき、 n は自然数でない。
n-13 = 1 のとき、 n^2+6n-27 = n-3 = 11 は素数である。
n-13 = -1 のとき、 n^2+6n-27 = -(n-3) = -9 は自然数でない。
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(1)


(ア)
n²+6n-27=(n-3)(n+9)
(n-3)(n+9)が素数になるためには片方が1でなければならない
n-3=1のとき
n=4
4+9=13
素数なのでOK

n+9=1
n=-8
自然数ではないのでNG

従って
n=4のみ

(イ)
n²-16n+39=(n-3)(n-13)

n-3=1のとき
n=4

4-13=-9
自然数ではないのでNG

n-13=1
n=14

14-3=11
素数なのでOK

従って
n=14のみ

(2)
p²=m²-n²=(m-n)(m+n)
p²の約数は
1,p,p²のみ

また
m-n<m+nより
m-n=1 …①
m+n=p² …②

①+②より
2m=p²+1
m=(p²+1)/2 …③

②-①より
2n=p²-1
n=(p²-1)/2 …④

③、④より
p²が偶数つまりpが偶数のときは
m,nは自然数とならない

p²が奇数つまりpが奇数のときは
m,nは自然数になる

従って求めるpは
p=2
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先の回答は(1)についての説明です。


(2)の答えはp=2です。
m,nの差が1となるような任意の自然数m,nの和が平方数とならない条件を調べるという考え方になります。
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素数というのはその約数がそれ自身か1になる数です。


ですので式を与えられてこれが素数となる条件を求めましょうと問われたのであれば式が因数分解出来そうであれば因数分解してみて二つの因数のうち一つが1になる条件を求めてそれが問題文の条件を満たすかどうか確認するというアプローチで解けることでしょう。例題を見ていませんが例題でもそのようになっているかと思います。
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