第二種比較判定法(級数の収束判定)の証明を教えてください。

第二種比較判定法(級数の収束判定)(wikipedia)の証明を教えてください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AF%94%E8%BC%83 …

Cを大きくとれば、|a_(n+1)/a_n|>1でも絶対収束の条件が成立してしまうような気がするのですが。私の勘違いでしょうか？

どなたか分かる人がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/16 19:15

a(n)=2^n

b(n)=1/2^n
C=8
とすると
Σ_{n=1～∞}b(n)=Σ_{n=1～∞}1/2^n=1
は絶対収束する
|a(n+1)/a(n)|=2
|b(n+1)/b(n)|=1/2
だから
|a(n+1)/a(n)|=2<4=8/2=C|b(n+1)/b(n)|
|a(n+1)/a(n)|<C|b(n+1)/b(n)|
だけれども
Σ_{n=1～∞}a(n)=Σ_{n=1～∞}2^n=∞
は
発散するから
その第2種比較判定法は間違いです

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。
やはりこちらで質問しまして良かったです。
wikipediaは今見ても、まだ直ってませんね。
モヤモヤが解決しました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2019/04/18 19:40

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/04/16 22:05

いえ、あなたのまちがいではないです。

これはＣ＞1では成り立ちません。
a_n＝ｎ、ｂ_n＝1/n²とすればｎ→∞のとき
a_(n+1)/a_n→1、C*ｂ_(n+1)/ｂ_n→C　だから
ｎが十分大きければ
a_(n+1)/a_nはほとんど1に張り付くし、C*ｂ_(n+1)/ｂ_nはCに張り付くから
1＜Cなら、ｎが十分大きい時　a_(n+1)/a_n≦C*ｂ_(n+1)/ｂ_n　がなりたち
Σｂ_nが収束にもかかわらず
たしかに　a_(n+1)/a_n＞1　です。
だから命題は　C≦1　のときに限り真です。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。
Wikipediaもいい加減ですよね。
勉強中の身の私でも何かおかしいと思うくらいですから。
けれど、解決しまして良かったです。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2019/04/18 19:42