数学の質問なのですが、(3)と(4)の逆関数を求めたいのですが、どうやればいいのですか?

数学の質問なのですが、(3)と(4)の逆関数を求めたいのですが、どうやればいいのですか?

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/20 09:16

［逆関数の求め方]

　　（Ｉ)　y= … の形の式を x= … の形に解く．
　　（ＩＩ）　独立変数を x で表わす習慣に従って，変数 x , y を入れ換える．
から
（１）ｙ＝－２ｘ＋６⇒２ｘ＝－ｙ＋６⇒ｘ＝－１/2y＋３
（２）ｙ＝ｘ²－４ｘ＋５ ⇒ｙ＝（ｘ－２）²－４＋５⇒（ｘ－２）²＝ｙ－１⇒ｘ－２＝√（ｙ－１）
　　　ｘ＝√（ｙ－１）＋２
（３）ｙ＝√（５－ｘ²） ⇒ｙ²＝５－ｘ² ⇒ｘ²＝５－ｙ² ⇒ｘ＝√（５－ｙ²）（０≦ｙ≦√５）
（４）ｙ＝log₁₀（ｘ－３）⇒１０^y=ｘ－３⇒ｘ＝１０^y＋３
どすえ。

この回答へのお礼

返信遅れてすみません。
konjiiさんの解答で最後xとyは入れ替えなくても良いのですか？

お礼日時：2019/04/21 11:11

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/20 14:06

式変形は、ただ x=(なんかyの式) になるように方程式を解くだけなんですが、

大切なのは「逆関数が存在するように定義域を」のほうです。
逆関数の定義域も特定する必要がありますから、
y が x について一対一になる x の範囲と、その範囲での y の値域を
求めておかなければなりません。それあっての式変形です。

(1)のように、全実数 x について y が単調でしかも y が全実数値をとる場合は
何も考えずに等式変形をするでけですが、たいていの場合それだけでは済みません。

(3)では、「逆関数が存在するよう」と特に指摘しながら、問題文で既に
0≦ｘ と指定してあり、この範囲で √(5-x^2) は単調減少です。
だから、実は(1)とあまり変わりがなくて、式を x = √(5-y^2) と変形するだけです。
逆関数の定義域 0≦y≦√5 を書き出すとき、√(5-y^2) という式を見て
代入できる y の範囲から 0≦y≦√5 を出すのではなく、
0≦ｘ≦√5 での √(5-x^2) の値域から決まるのだということは理解しておきましょう。

(2)は、(3)よりも難しいです。式を変形すれば ｘ = 2±√(y-1) であり、
このように変形できる条件は、解の存在条件 D/4 = (-2)^2-(5-y) ≧ 0 です。
2±√(y-1) の ± を適切に選んで x を y の関数にする必要があります。
このとき、± は各 y ごとに選ぶことができ、2+√(y-1) や 2-√(y-1) だけが
定義可能な逆関数ではありません。たとえば、
y≧1, yが有理数のときは x= 2+√(y-1), yが無理数のときは x= 2-√(y-1).
のようなものも、立派に y = x^2-4x+5 の逆関数です。
定義域を設定して逆関数を定義できるようにするということは、
このような解も含んでいるのです。

(4)については本来は、(3)で0≦ｘ≦√5と指定してあったように、問題文の側で
x-3>0 と指定してないといけません。関数は、定義域とその中での定義(式)との
セットがあって初めて定義されるもので、log[10](x-3) の式だけ見て、読む人が
勝手に x-3>0 を指定しろというのは、数学としては荒唐無稽です。
中学高校の教科書には、この点に無自覚なものが多く、困ったものです。
y = log[10](x-3) が実関数になるような x の範囲といえば、x-3>0 でありさえすればよく。
y = log[10](x-3) (ただし x>3) でも、y = log[10](x-3) (ただし x>10) でも、
y = log[10](x-3) (ただし x>1000) でも、どれでも構わないからです。
関数の定義域を定めるのは、関数を定義する人の責任であって、書かれた定義を
読む人の責任ではありません。こういうことを、学校ではちゃんと教えないんですよね。
さて、y = log[10](x-3), x>3 の逆関数はというと、y の値域が全実数であることから
全実数 y で定義された x = 3 + 10^y です。

No.3 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/21 12:11

失礼いたしました。

ＩＩを忘れていました。
［逆関数の求め方]
　　（Ｉ)　y= … の形の式を x= … の形に解く．
　　（ＩＩ）　独立変数を x で表わす習慣に従って，変数 x , y を入れ換える．
から
（１）ｙ＝－２ｘ＋６⇒２ｘ＝－ｙ＋６⇒ｘ＝－１/2y＋３⇒ｙ＝－１/2ｘ＋３
（２）ｙ＝ｘ²－４ｘ＋５ ⇒ｙ＝（ｘ－２）²－４＋５⇒（ｘ－２）²＝ｙ－１⇒ｘ－２＝±√（ｙ－１）
　　　　ｘ＝±√（ｙ－１）＋２⇒ｙ＝±√（ｘ－１）＋２；ｘ≧１
（３）ｙ＝√（５－ｘ²） ⇒ｙ²＝５－ｘ² ⇒ｘ²＝５－ｙ² ⇒ｘ＝±√（５－ｙ²）（０≦ｙ≦√５）
　　　　ｙ＝±√（５－ｘ²）（０≦ｘ≦√５）
（４）ｙ＝log₁₀（ｘ－３）⇒１０^y=ｘ－３⇒ｘ＝１０^y＋３⇒　ｙ＝１０^x＋３
どすな。