数学のε-N論法の問題。 写真の問題1なのですが、解答で｜bn｜<ε/2とおける理由が分かりません。

数学のε-N論法の問題。

写真の問題1なのですが、解答で｜bn｜<ε/2とおける理由が分かりません。教えてくれませんか？

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/21 08:52

｜bn｜≧０で、ε＞０（等号がない）ので｜bn｜<εでも｜bn｜<ε/2とでも、何とでもおけるわけです。

ε/2にしたのは、
｜Ａｎ－α｜＜｜Ｋ/Ｎ₁｜＋（ｎ－Ｎ）/ｎ＊ε/2＜ε/2＋ε/2＝εとピッタシεなるようにするためです。
ｎ＞Ｎについて、｜bn｜<ε/2となりますは言い過ぎでしょう。誤解の元になります。
ｎ＞Ｎについて、｜bn｜<ε/2と置くと、位でないとね。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/21 04:27

「

任意のε>0に対して、ある自然数Nがあって、n>Nについて、|b(n)|<ε
」
の意味は
「
任意のε>0に対して、ある自然数N(ε)があって、n>N(ε)について、|b(n)|<ε
」
となり
Nはεの関数N=N(ε)となります
εは任意の正数だから、正の数ならどんな数でも何でもよいのです
だから
任意のε>0に対して、
「
ε/2>0に対して、ある自然数N(ε/2)があって、n>N(ε/2)について、|b(n)|<ε/2
」
とすることもできるし
任意のε>0に対して、
「
ε/3>0に対して、ある自然数N(ε/3)があって、n>N(ε/3)について、|b(n)|<ε/3
」
とすることもできるし
任意のε>0,任意の自然数mに対して、
「
ε/m>0に対して、ある自然数N(ε/m)があって、n>N(ε/m)について、|b(n)|<ε/m
」
とすることもできるし
任意の自然数mに対して、
「
1/m>0に対して、ある自然数N(1/m)があって、n>N(1/m)について、|b(n)|<1/m
」
とすることもできます