∞に飛ばした時に数列と関数の極限で結果が変わる事はありますか？

∞に飛ばした時に数列と関数の極限で結果が変わる事はありますか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/29 19:13

関数 f(x) の極限 lim[x→+∞]f(x) = α が収束するならば、

数列 f(n) の極限も、同じ値に収束します。
もう少し一般的に、極限が +∞ 発散となる任意の数列 a[n] について
lim[n→∞] f(a[n]) = α であることが知られています。
たいていの入門書に書いてあるし、
"任意の部分列" で googleすれば解説がいろいろ見つかりますよ。

逆に数列 f(n) の極限が収束するとして、
関数 f(x) の極限は、一致どころか収束すら保証されません。
例： f(x) = sin(π x) について、
数列 f(n) は定数列 0 であり、極限も 0 に収束しますが、
関数の極限 lim[x→+∞]f(x) は収束しません。
x がどんなに大きい範囲にも、f(x) = 1 となる x は存在しますから。