数学A確率です。 袋の中に1から7までの数字が1つずつ書いてある7個の球がある。この袋から1個の球を

数学A確率です。
袋の中に1から7までの数字が1つずつ書いてある7個の球がある。この袋から1個の球を無作為に取り出し、その数を記録してもとの袋に戻す。
これをn回繰り返したとき、記録した数の和が偶数である確率をPn,記録したnこの数の積が3の倍数である確率をQnとする。ただしn=1のとき、P1,Q1は取り出した1個の球に書かれてある数が、それぞれ偶数である確率、3の倍数である確率とみなす。
問、Pn,Qnを求めよ。
方針が立ちません、おしえてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2019/06/04 18:53

Ｐn

ｎ回目までの和が偶数となるのは
(i)　(ｎ－１)回目までの和が偶数のとき、ｎ回目は偶数の球を取り出す
(ii)　(ｎ－１)回目までの和が奇数のとき、ｎ回目は奇数の球を取り出す
の２つの場合がある。

これから
Ｐn＝P(n-1)×(3/7)+{1－Ｐ(n-1)}×(4/7)=-(1/7)Ｐ(n-1)+(4/7)
となり、
Ｐ1=3/7 を用いてＰnを求める。


Ｑn も同じように考えればよい。

ｎ回目までの積が３の倍数となるのは
(i)　(ｎ－１)回目までの積が３の倍数のとき、ｎ回目は１～７のどの球を取り出してもよい
(ii)　(ｎ－１)回目までの積が３の倍数のとき、ｎ回目は３の倍数の球を取り出す
の２つの場合がある。

これから
Ｑn＝Ｑ(n-1)×1+{1－Ｑ(n-1)}×(2/7)=(5/7)Ｑ(n-1)+(2/7)
となり、
Ｑ
1=2/7 を用いてＱnを求める。

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/04 21:45

すいません。

No.3の訂正です。
（１）Aが奇数回出る場合が消えないといけないので二項定理の所から後を訂正します。
　　　(a+b)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）ｎＣｋ・a^(n-k)・b^k
　　　(a-b)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）ｎＣｋ・a^(n-k)・(-b)^k

　　今回の場合にあてはめて、
　　　
　　　(3/7+4/7)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）ｎＣｋ・(3/7)^(n-k)・(4/7)^k
　　　(3/7-4/7)^n=Σ（ｋ＝０～ｎ）ｎＣｋ・(3/7)^(n-k)・(-4/7)^k

これより、
　　　Ｐｎ＝1/2{(3/7+4/7)^n+(3/7-4/7)^n}
　　　　　＝1/2{1+(-1/7)^n)}

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/04 20:47

P(n+1) = P(n)P(1) + Q(n)Q(1),

Q(n+1) = P(n)Q(1) + Q(n)P(1),
P(1) = 3/7,
Q(1) = 4/7.
であることには気づかないと。
n回目までの和が偶数で、n+1回目に偶数を出せばn+1回目までの和は偶数
とか、偶奇で４通りに場合分けすれば判るはずです。

P(n) + Q(n) = w(n),
P(n) - Q(n) = s(n) で変形すると

w(n+1) = w(n),
s(n+1) = (-1/7)s(n),
w(1) = 1,
s(1) = -1/7 となるので、

w(n) = 1,
s(n) = (-1/7)^n であると解ります。

よって、
P(n) = {1 + (-1/7)^n}/2,
Q(n) = {1 - (-1/7)^n}/2 です。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/04 20:30

（１）奇数の書いてある球をA、偶数の書いてある球をBとします。

袋の中は｛A、A、A、A、B、B、B｝です。
　　　1個取り出したものがAである確率は4/7、Bである確率は3/7

　　　ｎ回取り出してその数の和が偶数ということは、ｎ回中、Aが偶数回出ればよいということです。
　　　例えば、ｎ回中、Aが4回出たとすればBは（ｎ-4）回出ます。つまり、Aを4個、Bを（ｎ-4）個並べる場合の数を考えて、
　　　この場合の確率は、nC₄(4/7)⁴(3/7)^(n-4)　となります。
　　　したがって、
　　　　Pｎ＝nC₀(4/7)⁰(3/7)^n+nC₂(4/7)²(3/7)^(n-2)+nC₄(4/7)⁴(3/7)^(n-4)+…+nC(4/7)(3/7)
　　　　　　　　【最後の項は、ｎが偶数の時　ｎCｎ・(4/7)^n・(3/7)⁰、ｎが奇数の時　ｎC(ｎ-１)・(4/7)^(n-1)・(3/7)¹】
　　　ここで、Cの右側の数字が偶数の場合だけの和を求めるわけですが、

　　　二項定理を思い出してください。
　　　　(a+b)^n=Σ（k=0～ｎ）nCk・a^k・ｂ^(n-k)
　　　　 (a-b)^n=Σ（k=0～ｎ）nCk・a^k・(-ｂ)^(n-k)
　　　この2つの式の和を求めれば、Ｃの右側の数字が偶数の項だけが残ります。

　　　今回の場合をあてはめると、
　　　　(4/7+3/7)^n=Σ（k=0～ｎ）nCk・(4/7)^k・(3/7)^(n-k)
　　　　(4/7-3/7)^n=Σ（k=0～ｎ）nCk・(4/7)^k・(-3/7)^(n-k)
　　　この２つの式の和を求めれば、
　　　　Pｎ＝1/2{(4/7+3/7)^n+(4/7-3/7)^n}
　　　　 　 =1/2{1+(1/7)^n}

（２）３の倍数の書いてある球をC、3の倍数でない数の書いてある球をDとします。袋の中は｛C、C、D、D、D、D、D｝です。
　　　1個取り出したものがCである確率は2/7、Dである確率は5/7

　　　ｎ回取り出してその数の積が３の倍数というこは、ｎ回中、少なくとも1回Cが出ればよいということです。
　　　ということは、ｎ回中、1回もCが出ない場合（すべてDが出る場合）の確率を求めて、１からひけばよいということになります。
　　　したがって、
　　　　Qｎ＝１-(5/7)^n

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2019/06/04 18:39

まずは和が偶数の方のヒント：

和が偶数って事は、奇数の球を０回または偶数回取り出す必要がある。
ｎ回取り出して、奇数の球が出る回数は、0、2、…　n回。
奇数球のでる確率は4/7で、偶数の出る確率は3/7。
後は順列・組み合わせ。

積が3の倍数って事は、ｎ回のうち少なくとも1回は、３か６が出る。
で後は順列・組み合わせだね。

和が3の倍数だったら場合分けが大変だな。