逆三角関数（複素関数）

Question

arccosz（複素関数）の主値の定義に関して、w=logzの主値をーπ＜argz≦πに限定することで定めるとき、（zの定義域を複素平面全体から実軸の０以下の部分を取り去った領域とすれば、全域で連続な１価関数となる）
このとき、arccosz=±ilog{z-√(z^2-1)}を得る。と画像２枚目であります。
このあとに～√ｚ＾２－１＝i√１－ｚ＾２と「定義する」とあります。
「定義する」となっているのがよくわからないです。
（この定義はwellーdefinedなのか、また、√ｚ＾２－１＝i√１－ｚ＾２は上のような仮定の下で導かれるものではないのか）
画像が長くなってしまって申し訳ございません。ご存じの方にお答えいただければ大変助かります。

ありものがたり · Accepted Answer

局所解析的な複素関数は、大域的には複素平面上の「関数」にはならず、
リーマン面上の正則関数になります。それを「複素多価関数」と呼ぶ慣習です。
この多価関数を通常の複素関数にするためには、定義域を制限して
リーマン面から複素数平面へ射影することと、射影先の複素数平面上の
各点での値として多価の中からひとつの値を選ぶことが必要です。
もとの関数が局所解析的であれば、値を選ぶときに一価化された関数が
連続になるように各点での値を選ぶことができ、そのように値を選んで作った
関数は定義域上で正則になります。このようにして作った複素関数を
ものとの多価関数の「枝」と呼びます。与えられた複素多価関数から枝を
切り出すやりかたは複数あり、枝は使う場面ごとに明示的に定義されます。
そんな中で、有名な関数については、ある程度広く普及して使われる枝を
定義しておくと便利なことがあります。そのような公式の枝を「主値」と呼ぶのです。

複素多価関数の主値を定義するためには、定義値域を制限することと、
各点で多価の中から値をひとつ選ぶことが必要でした。
例えば log z の場合には、z を負の実数ではない複素数に制限すること、
値はその定義域上で log z = ∫[1,z]dz/z を選ぶことで、主値が定義されました。

cos の周期性から arccos も多価関数になります。arccos の主値は
arccos に対して個別に定義してやる他にないのですが、そのとき
log や √ の主値を援用して決めよう というのが、その写真の文章の主旨です。
cos と指数関数の関係 cos z = (e^iz + e^-iz)/2 から、写真にあるような
初等的な計算によって、関係式 arccos z = i log(z-i√(1-z^2)) が得られます。
式は得られましたが、この式の右辺も複素多価関数であり、主値を決めたくなります。
その際支障となるのが、右辺に含まれる2個の多価関数 log と √ です。
z の範囲を適切に制限し、その上で log と √ の値を多価の中からひとつ選ぶことで
arccos の主値を決めよう という話なのです。

複素関数 √z も、多価関数です。上記の arccos の式で、z±i√(1-z^2) ではなく
あえて z-i√(1-z^2) と書いたことには、意味を感じてください。
実関数 √x は、x の平方根のうち正値のもの として一意に定義できるので、
実平方根のうち一方のみが √x であり、他方は -√x と書けます。
しかし複素関数 √x の場合、x の2個の平方根のどちらが √x でどちらが -√x かを
統一的に決める方法がないので、両方を √x と書いて、多価関数である と言うわけです。

√z に主値を決めるとき、z を負の実数ではない複素数に制限するのが通常です。
これは、√z = z^(1/2) = e^((1/2)(log z)) を通じて、log z の主値との間に
一貫性のある定義になっています。 
 
さて、以上を踏まえて、天下り的ですが z の範囲を写真の領域 U 上に制限すると、
1-z^2 が負の実数にならないので、√(1-z^2) に √ の主値を適用することができます。
そして更に、z∈U　に対する z-i√(1-z^2) が実数にならない(負の実数にもならない)
ので、log(z-i√(1-z^2)) に log の主値を適用することもできるのです。このようにして、
arccos の主値を log, √ の主値と関連付けた形で定義することができました。

arccos z = i log(z-i√(1-z^2)) を導く過程で、二次方程式の解公式を使った
ことから一旦現れた e^iw = z-√(z^2-1) の右辺は、√ を複素√ の主値と考えたのでは
U の一部である -1 < z < 1 の z を代入することができません。そこで、
arccos z = i log(z-√(z^2-1)) の時点では √ を多価関数のまま扱っておいて、
log(z-√(z^2-1)) = log(z-i√(1-z^2)) と変形してから改めて U 上の主値を考える
必要があります。右辺を主値と考えた後、振り返ってこの式を正当化するためには
左辺の √(z^2-1) を = i√(1-z^2) の意味だと考える必要がある... という程度のことを
「√(z^2-1) = i√(1-z^2) と定義する」と言っているのです。

arccos z = i log(z-√(z^2-1))　は多価関数としての式、
arccos z = i log(z-i√(1-z^2))　は U 上の主値としての式なので、
両者をゴッチャにして log(z-√(z^2-1)) = log(z-i√(1-z^2)) を正当化する必要性が
そもそも無いのですが。

konjii · Answer

実軸＝Ｒｅ√(1-z²）＞０ならば、√(z²－１）＝i√(１－z²）と定義すれば虚部は正なので
虚軸＝Ｉｍ√(z²－１）＞０となる。
ｚが実数ならば、√(z²－１）＝i√(１－z²）は当然のことですが
ｚは複素数なので、√(z²－１）＝i√(１－z²）とは決まっていないので、と定義したのです。
この定義が正しければ、その後の論述のようになことが言えるとなっています。

逆三角関数（複素関数）

局所解析的な複素関数は、大域的には複素平面上の「関数」にはならず、

実軸＝Ｒｅ√(1-z²）＞０ならば、√(z²－１）＝i√(１－z²）と定義すれば虚部は正なので

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