No.1ベストアンサー
- 回答日時:
w = sin(z)
をzについて解いて
z = -i ln( iw ± √(1-w^2) ) ---(A)
となった時に,この±を+にすることが疑問だということですね.
そうした理由は,「arcsin(w)をそのように定義したから」という単純なものです.
そもそも,w が与えられた時に w = sin(z) を満たす z はたくさん存在します.
具体的に言うと,ある z0 が w = sin(z0) を満たしたとすると,
z0 + 2πi × (整数) ---(B)
π-z0 + 2πi × (整数) ---(C)
で表されるzはすべて w = sin(z) を みたすので,これらすべてが arcsin(w) の候補になります.
そのなかで,式(A)の±→+としたものだけを arcsin(w) と定義したわけです.
これは式(B) と式(C)のうち一方だけを選んだことになっています.
2πi × (整数) の不定性はまだ残ってるのは,ln の多価性で理解できます.
No.2
- 回答日時:
複素関数 √ には、実関数のときの
「√ は2個ある平方根のうち正のほうを表す」
という規約が使えないからです。
複素数には正も負もないので、どちらが √ で
どちらが -√ だか、区別する方法がありません。
だから、±√ で書き分けるのではなく、
両方とも √ だけで表しておき、
2個の √ を区別する必要があるときには、
別途、初期条件を書き添えるなどして
説明するのです。
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