数学Aで質問です。『nが奇数の時、n³-nは24の倍数であることを証明せよ。なお、連続した2つの整数

数学Aで質問です。『nが奇数の時、n³-nは24の倍数であることを証明せよ。なお、連続した2つの整数の積は2の倍数、連続した3つの整数の積は6の倍数であることを利用してもよい。』
という問題なのですが、画像の回答は合っていますか？

No.7 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/08/09 23:21

＝(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)

としたときに、
ｎ－１＝６ｋ＋１
ｎ－１＝６ｋ＋２
ｎ－１＝６ｋ＋３
ｎ－１＝６ｋ＋４
ｎ－１＝６ｋ＋５
ｎ－１＝６ｋ＋６
と6通りの場合を考えてやれば考えることが無くて良いかも知れない。

ｎ－１＝６ｋ＋１の場合、ｎ＝６ｋ＋２＝２(３ｋ＋１)なので偶数だから該当しない。
ｎ－１＝６ｋ＋３の場合、ｎ＝６ｋ＋４＝２(３ｋ＋２)なので偶数だから該当しない。
ｎ－１＝６ｋ＋５の場合、ｎ＝６ｋ＋６＝２(３ｋ＋３)なので偶数だから該当しない。

ｎ－１＝６ｋ＋２の場合、
(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)＝(６ｋ＋２)(６ｋ＋３)(６ｋ＋４)
＝４(３ｋ＋１)(６ｋ＋３)(３ｋ＋２)
＝１２(３ｋ＋１)(２ｋ＋１)(３ｋ＋２)
＝１２(３ｋ＋１)(３ｋ＋２)(２ｋ＋１)
ｋ＝２ｍの場合、
＝１２(６ｍ＋１)(６ｍ＋２)(２ｋ＋１)
＝２４(６ｍ＋１)(３ｍ＋１)(２ｋ＋１)
で２４の倍数。
ｋ＝２ｍ＋１の場合、
＝１２(６ｍ＋４)(６ｍ＋５)(２ｋ＋１)
＝２４(３ｍ＋２)(６ｍ＋５)(２ｋ＋１)
で２４の倍数。

ｎ－１＝６ｋ＋４の場合、
(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)＝(６ｋ＋４)(６ｋ＋５)(６ｋ＋６)
＝４(３ｋ＋２)(６ｋ＋５)(３ｋ＋３)
＝１２(３ｋ＋２)(６ｋ＋５)(ｋ＋１)
＝１２(３ｋ＋２)(ｋ＋１)(６ｋ＋５)
ｋ＝２ｍの場合、
＝１２(６ｍ＋２)(２ｍ＋１)(６ｋ＋５)
＝２４(３ｍ＋１)(２ｍ＋１)(６ｋ＋５)
で２４の倍数。
ｋ＝２ｍ＋１の場合、
＝１２(６ｍ＋５)(２ｍ＋２)(６ｋ＋５)
＝２４(６ｍ＋５)(ｍ＋１)(６ｋ＋５)
で２４の倍数。

ｎ－１＝６ｋ＋６の場合、
(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)＝(６ｋ＋６)(６ｋ＋７)(６ｋ＋８)
＝４(３ｋ＋３)(６ｋ＋７)(３ｋ＋４)
＝１２(ｋ＋１)(６ｋ＋７)(３ｋ＋４)
＝１２(ｋ＋１)(３ｋ＋４)(６ｋ＋７)
ｋ＝２ｍの場合、
＝１２(２ｍ＋１)(６ｍ＋４)(６ｋ＋７)
＝２４(２ｍ＋１)(３ｍ＋２)(６ｋ＋７)
で２４の倍数。
ｋ＝２ｍ＋１の場合、
＝１２(２ｍ＋２)(６ｍ＋７)(６ｋ＋７)
＝２４(ｍ＋１)(６ｍ＋７)(２ｋ＋１)
で２４の倍数。

> 画像の回答は合っていますか？

勿論間違ってますし、何を証明しているのかさっぱり理解できない。
じゃぁｋ＝１のとき２４の倍数になってるの？
なんだか適当に暗記した形だけ似たような物にしているのだけれど、理解できてないから何にもなってないような。

No.9 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/08/11 22:22

２・３・４、４・５・６、６・７・８、８・９・１０、

具体的に列挙してみると、全部２４の倍数、８と３の倍数ですね。
さてなんでかと。
２・３・４、４・５・６を見ると、単に偶数が二つなだけでは無く、片方の偶数は４の倍数ですよね。
偶数のうち、片方が２の倍数、もう片方は４の倍数なので、掛け合わせると８の倍数になるわけだ。
更に連続する三つの数の中には、必ず３の倍数が含まれる。
それで２４の倍数になるんだね。
上記を数学っぽく説明してやれば良い。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/10 11:43

n^3-n=8k^3+12k^2+4k=4k(2k^2+3k+1)=4k(k+1)(2k+1)

kとk+1はどちらかが偶数だから n^3-n は素因数として2^3を含む。
後は3を素因数に含むことを示せば24の倍数ということになります。

k mod 3=0の場合 kが3の倍数
k mod 3=1の場合 (2k+1) mod 3 = {2(k mod 3)+1} mod 3 = 3 mod 3=0
だから 2k+1が3の倍数
k mod 3=2の場合 k+1 が3の倍数

以上から 24の倍数です。

>画像の回答は合っていますか？

4行目をどうやって求めたのか不明。
結論へのジャンプは正気とは思えないです。

なんですかこれは？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/09 16:54

n=2k+1

n^3-n
=(2k+1)^3-(2k+1)
=8k^3+12k^2+6k+1-2k-1
=8k^3+12k^2+4k
=4k(2k^2+3k+1)
=4k(k+1)(2k+1)
=2k(2k+1)(2k+2)

k(k+1)は2の倍数だから
4k(k+1)は8の倍数
2k(2k+1)(2k+2)は6の倍数
だから
8と6の公倍数だから
n^3-nは24の倍数である

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/09 14:10

間違っているよ

3行目には8k³（ｋの３乗の項）があるのに
4行目ではk³の項なくなってしまっている
もう一度計算しなおしてみてください

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/09 14:05

No.1&2 です。

ではきちんと回答します。

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)　　　　①

で「n^3 - n」は「連続した3つの整数の積」ですから「６の倍数」です。

また、n は奇数なので、3 ≦ n として、k を正の整数とすると
　n = 2k + 1
と書けるので、①に代入して
　n^3 - n = (2k + 1)･2k(2k + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)　　　　　　　　　　②

ここで、k と k + 1 は連続した2つの整数なので、
　k(k + 1)
は2の倍数である。従って、これを m を正の整数として
　k(k + 1) = 2m
と書けば、②は
　n^3 - n = 8m(2k + 1)
つまり「８の倍数」である。

以上より、「n^3 - n」は「６の倍数」かつ「８の倍数」であるから、その公倍数である「24の倍数」であるといえる。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/08/09 14:00

>画像の回答は合っていますか？

あっているけどエレガントではないですね。
与式 ＝　n(n-1)(n+1)の性質をもっとよく使いましょうよ

n,(n-1),（n+1)のいずれかは３の倍数なので、与式は３の倍数である。　
nが奇数なので、(n-1),（n+1)のいずれかは4の倍数、一方は２の倍数なので、与式は８の倍数である。
結果、与式は２４の倍数である。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/09 13:53

No.1 です。

ああ、失礼、「n が奇数のとき」でしたね。暑さでぼけている。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/09 13:46

＞画像の回答は合っていますか？

k/6 が整数であるといえなければ最終行の結論は言えません。

また、設問は本当にこれで正しいのですか？
n=2 や n=4 のときには成り立ちませんよ？

n=2 のとき n^3 - n = 8 - 2 = 6
n=4 のとき n^3 - n = 64 - 4 = 60