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数学Aで質問です。『nが奇数の時、n³-nは24の倍数であることを証明せよ。なお、連続した2つの整数の積は2の倍数、連続した3つの整数の積は6の倍数であることを利用してもよい。』
という問題なのですが、画像の回答は合っていますか?

「数学Aで質問です。『nが奇数の時、n³-」の質問画像

A 回答 (9件)

=(n-1)n(n+1)


としたときに、
n-1=6k+1
n-1=6k+2
n-1=6k+3
n-1=6k+4
n-1=6k+5
n-1=6k+6
と6通りの場合を考えてやれば考えることが無くて良いかも知れない。

n-1=6k+1の場合、n=6k+2=2(3k+1)なので偶数だから該当しない。
n-1=6k+3の場合、n=6k+4=2(3k+2)なので偶数だから該当しない。
n-1=6k+5の場合、n=6k+6=2(3k+3)なので偶数だから該当しない。

n-1=6k+2の場合、
(n-1)n(n+1)=(6k+2)(6k+3)(6k+4)
=4(3k+1)(6k+3)(3k+2)
=12(3k+1)(2k+1)(3k+2)
=12(3k+1)(3k+2)(2k+1)
k=2mの場合、
=12(6m+1)(6m+2)(2k+1)
=24(6m+1)(3m+1)(2k+1)
で24の倍数。
k=2m+1の場合、
=12(6m+4)(6m+5)(2k+1)
=24(3m+2)(6m+5)(2k+1)
で24の倍数。

n-1=6k+4の場合、
(n-1)n(n+1)=(6k+4)(6k+5)(6k+6)
=4(3k+2)(6k+5)(3k+3)
=12(3k+2)(6k+5)(k+1)
=12(3k+2)(k+1)(6k+5)
k=2mの場合、
=12(6m+2)(2m+1)(6k+5)
=24(3m+1)(2m+1)(6k+5)
で24の倍数。
k=2m+1の場合、
=12(6m+5)(2m+2)(6k+5)
=24(6m+5)(m+1)(6k+5)
で24の倍数。

n-1=6k+6の場合、
(n-1)n(n+1)=(6k+6)(6k+7)(6k+8)
=4(3k+3)(6k+7)(3k+4)
=12(k+1)(6k+7)(3k+4)
=12(k+1)(3k+4)(6k+7)
k=2mの場合、
=12(2m+1)(6m+4)(6k+7)
=24(2m+1)(3m+2)(6k+7)
で24の倍数。
k=2m+1の場合、
=12(2m+2)(6m+7)(6k+7)
=24(m+1)(6m+7)(2k+1)
で24の倍数。

> 画像の回答は合っていますか?

勿論間違ってますし、何を証明しているのかさっぱり理解できない。
じゃぁk=1のとき24の倍数になってるの?
なんだか適当に暗記した形だけ似たような物にしているのだけれど、理解できてないから何にもなってないような。
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2・3・4、4・5・6、6・7・8、8・9・10、


具体的に列挙してみると、全部24の倍数、8と3の倍数ですね。
さてなんでかと。
2・3・4、4・5・6を見ると、単に偶数が二つなだけでは無く、片方の偶数は4の倍数ですよね。
偶数のうち、片方が2の倍数、もう片方は4の倍数なので、掛け合わせると8の倍数になるわけだ。
更に連続する三つの数の中には、必ず3の倍数が含まれる。
それで24の倍数になるんだね。
上記を数学っぽく説明してやれば良い。
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n^3-n=8k^3+12k^2+4k=4k(2k^2+3k+1)=4k(k+1)(2k+1)



kとk+1はどちらかが偶数だから n^3-n は素因数として2^3を含む。
後は3を素因数に含むことを示せば24の倍数ということになります。

k mod 3=0の場合 kが3の倍数
k mod 3=1の場合 (2k+1) mod 3 = {2(k mod 3)+1} mod 3 = 3 mod 3=0
だから 2k+1が3の倍数
k mod 3=2の場合 k+1 が3の倍数

以上から 24の倍数です。

>画像の回答は合っていますか?

4行目をどうやって求めたのか不明。
結論へのジャンプは正気とは思えないです。

なんですかこれは?
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n=2k+1


n^3-n
=(2k+1)^3-(2k+1)
=8k^3+12k^2+6k+1-2k-1
=8k^3+12k^2+4k
=4k(2k^2+3k+1)
=4k(k+1)(2k+1)
=2k(2k+1)(2k+2)

k(k+1)は2の倍数だから
4k(k+1)は8の倍数
2k(2k+1)(2k+2)は6の倍数
だから
8と6の公倍数だから
n^3-nは24の倍数である
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間違っているよ


3行目には8k³(kの3乗の項)があるのに
4行目ではk³の項なくなってしまっている
もう一度計算しなおしてみてください
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No.1&2 です。

ではきちんと回答します。

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)    ①

で「n^3 - n」は「連続した3つの整数の積」ですから「6の倍数」です。

また、n は奇数なので、3 ≦ n として、k を正の整数とすると
 n = 2k + 1
と書けるので、①に代入して
 n^3 - n = (2k + 1)・2k(2k + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)          ②

ここで、k と k + 1 は連続した2つの整数なので、
 k(k + 1)
は2の倍数である。従って、これを m を正の整数として
 k(k + 1) = 2m
と書けば、②は
 n^3 - n = 8m(2k + 1)
つまり「8の倍数」である。

以上より、「n^3 - n」は「6の倍数」かつ「8の倍数」であるから、その公倍数である「24の倍数」であるといえる。
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>画像の回答は合っていますか?


あっているけどエレガントではないですね。
与式 = n(n-1)(n+1)の性質をもっとよく使いましょうよ

n,(n-1),(n+1)のいずれかは3の倍数なので、与式は3の倍数である。 
nが奇数なので、(n-1),(n+1)のいずれかは4の倍数、一方は2の倍数なので、与式は8の倍数である。
結果、与式は24の倍数である。
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No.1 です。

ああ、失礼、「n が奇数のとき」でしたね。暑さでぼけている。
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>画像の回答は合っていますか?



k/6 が整数であるといえなければ最終行の結論は言えません。

また、設問は本当にこれで正しいのですか?
n=2 や n=4 のときには成り立ちませんよ?

n=2 のとき n^3 - n = 8 - 2 = 6
n=4 のとき n^3 - n = 64 - 4 = 60
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