図形関係でクイズ的?なことですが…。
3つの円をうまくずらして重ね合わせると、
「3つの円に属する部分が1つ」
「2つの円に属する部分が3つ」
「1つの円に属する部分が3つ」
の合計7つのスペースが作れますよね。
円をそれぞれA、B、Cとすると、例えば円A、Bに含まれ、
円Cに含まれないスペースとかができるわけです。
これは分かりました。
これがどうしても分かりません。
「4つに属する部分が1つ」
「3つに属する部分が4つ」
「2つに属する部分が6つ」
「1つに属する部分が4つ」
の合計15個のスペースができるようにするにはどうすればいいのでしょうか?
4つの円をうまくずらして重ね合わせるとできると思ったんですが、いくらやっても最高13個のスペースしかできませんでした。
円だと最高n×2+1個のスペースしかできない?と気が付いてきましたが…。
だんだん頭が痛くなってきて、迷宮入りしてしまいました…。
助けてください。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
#5です。
全然自信がない上に、文章だけで説明しないといけないんで、どうなりますやら…ともかく、やってみますね。まず、3個の円を交差させた図を作ります。問題文の中にあった通り、7つのスペースに分かれます。
次に、2個の円と交差するように、4個目の円を描きます。これで、以下の11個のスペースができます。
「3つに属する部分が2つ」
「2つに属する部分が5つ」
「1つに属する部分が4つ」
最後に、5個目の円を重ねます。ここで、この円の円周が「2つに属する部分と3つに属する部分と2つに属する部分」の3つのスペースだけを通るようにするのがポイントです。ほかの4個の円は同じ大きさでいいですが、5個目の円だけは大きくなります。
5個目の円によって、「2つに属する部分と3つに属する部分と2つに属する部分」はそれぞれ二つの部分に分けられて、
「4つに属する部分が1つ」加わる
「3つに属する部分が2つ」加わる
また、この円は1つの円の「1つに属する部分」と重なるので、その部分は「2つに属する部分」になります。
「1つに属する部分が1つ」減り
「2つに属する部分が1つ」加わる
そして、5個目の円だけに属する部分が「1つに属する部分」となりますから、
「1つに属する部分が1つ」加わる
最終的に、
「4つに属する部分が1つ」
「3つに属する部分が2つ+2つ」
「2つに属する部分が5つ+1つ」
「1つに属する部分が4つ-1つ+1つ」
というのが私が出した答えなんですが…
こんなんでいいんでしょうか???
ありがとうございます。
なるほど…!大きな円を重ねるという考えがありましたか!
『「2つにする部分と3つに属する部分と2つに属する部分」の3つのスペースだけを通るようにする』
というのは、2つの交点を通る必要があるみたいですね。
ただ、5つ目をきちっとした円で書くのはわりと難しいですね…。
なんだか変則的な形になりましたが、きちんと条件を満たしているようで、すごいです。
これはこれで納得しました!
でも、いいかどうかはちょっと判断しづらいのが難点でしょうか…
No.5
- 回答日時:
すみません、問題の前提条件がよくわからないんですが…
目的の15個のスペースができるようにする時に、
1.いくつかの円を重ねあわせる
2.4個の円を重ね合わせる
どちらの条件なんでしょう?円でなくてもいいなんてことはないですよね?
4個の円では無理ではないでしょうか?5個の円ならできたんですが。
すみません…。
円の個数は問わないと思いますが、
円を5つだと5つに属する部分が1つ、あるいは1つに属する部分が5つできると思っていたので、避けました。
5つでできたのなら、その方法を教えてください。
円でできるなら、その方法を望みます。
角があるのは避けるべきだと思っていたんです。
No.4
- 回答日時:
4つの円をA、B、C、Dとすれば、
「4つに属する部分が1つ」=ABCD
「3つに属する部分が4つ」=ABC、ABD、ACD、BCD
「2つに属する部分が6つ」=AB、AC、AD、BC、BD、CD
「1つに属する部分が4つ」=A、B、C、D
と組合せの問題としては合計15個ができます。
しかし、平面に円を描こうとすると13個しかできないようです。
そこで、平面に描くのをあきらめて、円柱の表面に描けばなんとかなると
思いますが、これはルール違反でしょうか。
ありがとうございます。
立体という考えは思いつきませんでした。
立体で円の折り返しを利用するといったところでしょうか。
でも、出来れば平面が望ましいです…。
No.2
- 回答日時:
私なりの解釈です。
円と円が重なるとき、必ず2個の交点ができますよね。
1個、また3個以上になることはありません。
それを踏まえて、考えてみました。
前提として、交点に交点は重ならない、
また、「n個に属する部分が1つ」あるものとします。
1つの円では当然、スペースは1つです。このとき交点の数は0。
1つの円に対し、もう1つの円を重ねたとき、必ず交点が2つできます。
このとき交点の総数は2個で、スペースは3個です。
さらに2つの円に対し、もう1つ円を重ねると、2+2で4つの交点が増えます。
このとき交点の総数は6個で、スペースは7個です。
さらに3つの円に対し、もう1つ円を重ねると、2+2+2で6つの交点が増えます。
このとき交点の総数は12個で、スペースは13個になります。
がんばって考えてみましたが、これ以外思いつきませんでした。
ひらめきと発想力が足りないみたいです。
式にも表してみました。
シグマを使ったのは10年ぶりぐらいなので
間違ってたらごめんなさい。
上記から 交点の総数+1 がスペースの数になります。
交点の総数ですが、下記のように表すことができます。
1つの円の場合 2(1-1)=0
2つの円の場合 2(1-1)+2(2-1)=2
3つの円の場合 2(1-1)+2(2-1)+2(3-1)=6
4つの円の場合 2(1-1)+2(2-1)+2(3-1)+2(4-1)=12
シグマを使うとこんな式になるような…。(等幅フォントで書いてます)
n
Σ 2(n-1)
k=1
(これってもっと簡単な式になるんでしたっけ?)
交点の総数+1がスペースの数なので、
n
Sn= Σ 2(n-1)+1
k=1
こんな感じでどうでしょう。
ありがとうございます。
やはり13個が限界ですか…。
説明は分かりやすいんですが、自分の考えと同じみたいです。
式まで作っていただいたのに申し訳ありません…。
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