楕円球の焦点

楕円球の焦点の公式を教えてください．

楕円球の標準式は式1)で表せると思います．

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 1)

このとき，2焦点はどのような式で表せるのでしょうか？

よろしくお願い致します．

No.5 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/08/13 05:04

#4の補足に対して

＞楕円体を，2次元空間で表される楕円を3次元に拡張した図形として考えています．つまり，3次元空間上の任意の2点からの距離の合計が等しい点の集合です．

用語上問題があります。"任意の"でなく、"ある"ですね。

質問者さんの述べているものは"楕円体"ではなく"回転楕円体"です。回転楕円体以外でそのような条件を満たすものは存在しません。

2点A,Bがあり、PA+PB=C(一定)を満たす点Pの軌跡について、直線ABに垂直な平面上で考えて見ましょう。
この平面と直線ABの交点をHとします。
その平面上でPA+PB=cとなる点Pの軌跡はどのような図形となるでしょうか。
PH=r.AH=a,BH=bとおくと
PA^2=a^2+r^2
PB^2=b^2+r^2
となります。
この2式を引き算して整理すると
(PA+PB)(PA-PB)=a^2-b^2
c・(PA-PB)=a^2-b^2
PA-PB=(a^2-b^2)/c
a,bは一定ですからPA-PBも一定、PA+PB,PA-PBがPによらず一定ですのでPA,PBは一定です。
PAが一定ですのでa^2+r^2も一定、つまりrは一定です。
つまり、この平面内でPの描く図形は円となるのです。

このようにPA+PBが一定となる点の軌跡のABに垂直な平面で切った断面は必ず円になるのです。

質問者の言われる
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 a≠b,b≠c,c＝a
の示す楕円体が質問者の考えるような焦点を持つことはありえないのです。

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました．
私が誤解していた部分が明瞭になりました．

お礼日時：2014/08/15 21:26

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/08/13 22:16

#5です。

#6のかた。
>x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 a≠b,b≠c,c＝a
なら「焦点」を持つんじゃないかな＞#5.

ご指摘ありがとうございます。入力ミスしてました。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/13 15:16

あれ?

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 a≠b,b≠c,c＝a
なら「焦点」を持つんじゃないかな＞#5.

もちろんちょっと考えればわかるように
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 a≠b,b≠c,c≠a
はアウト.

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/08/12 07:16

#1のものです。

私の質問を少し間違って解釈されたようなのでもう少し具体的にお聞きします。

1.質問者の使う"楕円体"の定義を教えてください。
2.質問者の使う"楕円体の焦点"の定義を教えてください。

多分、この二つの定義がしっかりしていないのでこのような質問が出ていうのだと思います。
しっかりとわかっていればこのような質問をする前に自己解決できると思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます．

楕円体を，2次元空間で表される楕円を3次元に拡張した図形として考えています．つまり，3次元空間上の任意の2点からの距離の合計が等しい点の集合です．
焦点は，この任意の2点，ととらえています．

#1さんから最初に頂いた回答から，2次元での長軸，もしくは短軸を回転中心として得られる図形が回転楕円体であると理解しました．恐らく，上記の定義は，回転楕円体になるのだと思います．
このとき，焦点は平面上の楕円と一致するということは分かります．ご回答頂いた式の内容も分かっていると思います．

教えて頂きたかったのでは，先の式でa≠b≠cとなるような図形の場合です．このような図形でも名称は「楕円体」かと思います．平面上での楕円がベースになっていると思いますので，3次元空間上においても焦点があると考えています．表面積や体積の算出方法に関しては，ネット上にも多数資料があるのですが，焦点に関しては，資料が見当たらず，質問させて頂いた次第です．

私の捉え方が間違っているのでしょうか？

補足日時：2014/08/12 23:06

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/11 23:33

「楕円体の式を求める」ってのは, 具体的にはどんな行為?

「楕円体の焦点」というのはどのような性質を持った「点」のこと?

No.2 回答者： yoshik-y 回答日時： 2014/08/11 21:22

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

でしたら一般的には「楕円体」と呼ばれることが多いかと思います。
この場合、２次元の楕円の焦点に当たる点は決まらないかと。
焦点が決められるのは、２次元の楕円を軸を中心にして回転して出来る回転楕円体で、その場合はa,b,cのどれか二つが等しくなります。
その時の焦点は、回転前の楕円と同じだと思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます．
私が知りたいのは楕円体です．

＞２次元の楕円の焦点に当たる点は決まらないかと。

とのことですが，a≠b≠cの場合は，どのようにして楕円体の式を求めるかご存知でしょうか？
焦点は存在しないのでしょうか？

補足日時：2014/08/11 22:07

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/08/11 19:34

まず、こちらから聞きたい。

"楕円球"というのは何ですか。
そして"楕円球の焦点"とはなんですか。

もし、いっているのが2焦点からの距離の和が一定となる点の集合であるとすればそれは回転楕円体のことです。
x軸上に2焦点がある回転楕円体の式は
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1
となります。(質問者の式でb=cとしたもの)

この回答への補足

回答ありがとうございます．
私の意図としては，「楕円体」です．
正確な表現ができなくて，申し訳ありません．

追加で質問なのですが，回転楕円体以外，つまり，a≠b≠cの場合の焦点はどのようにな式になるのでしょうか？

補足日時：2014/08/11 22:05