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A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
命題は誤りです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11331343.html
で示した関数
f(x,y)=x²y/(x⁴+y²) , (x,y)≠0
=0 , (x,y)=0
は、そこで示したように原点で不連続。
しかし、
fx(0,0)=lim [x → 0] {f(x,0)-f(0,0)}/|x|=0
fy(0,0)=lim [y → 0] {f(0,y)-f(0,0)}/|y|=0
となって、偏微分可能です。
No.1
- 回答日時:
関数fを
f:R×R→R
(x,y)∈R×Rに対して
xy≠0のときf(x,y)=1
xy=0のときf(x,y)=0
と定義すると
f(h,0)=0だから
f_x(0,0)=lim_{h→0}{f(h,0)-f(0,0)}/h=0
xに関して偏微分可能
f(0,t)=0だから
f_y(0,0)=lim_{t→0}{f(0,t)-f(0,0)}/t=0
yに関して偏微分可能
だから
lim_{n→∞}(1/n,1/n)=(0,0)
lim_{n→∞}f(1/n,1/n)=1≠0=f(0,0)
だから
f(x,y)は原点で不連続
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