三角関数の極限値

以下の問題ですが、解法が分からず、解説もなく、周りに質問できる人もいないので、解説を教えていただけませんか？

（1）lim[x→π]tanx/x-π

(2)lim[x→∞](x・sin1/x)

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/02 23:06

lim[x→0] sinx /x =1

lim[x→0] tanx /x =lim[x→0] sinx/cosx ・1/x
=lim[x→0] 1/cosx ・sinx /x =1・1=1

という式を知っていれば、難しいことはありません。
あとはどうにか変形してこの式を用いて表せるかを考えるだけです。

(1)では、まず tan(π-x) = -tan x から
lim[x→π] tanx /(x-π) =lim[x→π] -tan(π-x) /(x-π) =lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
と変形します。
あとは π-x=t とでもおけば、x→π なら t→0 になることから
lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
=lim[t→0] tan(t) /t
と変形するだけですね。

(2)は x= 1/(1/x) であることに気づけば、
lim[x→∞] (x・sin1/x) =lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
ここで 1/x=t とおけば、x→∞ なら t→0 なのだから
lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
=lim[t→0] sin(t) /t
と変形できます。

解答は最初に示した式から明らかでしょう。

No.2 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/07/02 01:10

(1) (tan(x))/(x - π) なのでしょうか。

t = x - π とすると、lim[t→0] (tan(t+π))/t = 1

(2) t = 1/x として、lim[t→0] (sint)/t = 1

となりますか？

No.1 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/07/02 01:08

(1)

lim[x→π]tanx/x-π=lim[x→π]tan(x-π)/x-π

x-π=tとおくと、

lim[t→0]tant/t=1

(2)

lim[x→∞](x・sin1/x)=lim[x→∞]((sin1/x)/(1/x))

1/x=tとおくと、

lim[t→0]sint/t=1