f(x,y) が原点で偏微分可能ならば，f(x,y) は原点で連続である. これを示してください。

f(x,y) が原点で偏微分可能ならば，f(x,y) は原点で連続である.

これを示してください。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/10/16 11:32

これ、問題が間違っていませんか?

偏微分ではなく全微分ではないですか?

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/10/15 11:21

命題は誤りです。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11331343.html
で示した関数
f(x,y)=x²y/(x⁴+y²) , (x,y)≠0
　　　=0 , (x,y)=0

は、そこで示したように原点で不連続。

しかし、
fx(0,0)=lim [x → 0] {f(x,0)-f(0,0)}/|x|=0
fy(0,0)=lim [y → 0] {f(0,y)-f(0,0)}/|y|=0
となって、偏微分可能です。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/10/15 10:45

関数fを

f:R×R→R
(x,y)∈R×Rに対して
xy≠0のときf(x,y)=1
xy=0のときf(x,y)=0
と定義すると
f(h,0)=0だから
f_x(0,0)=lim_{h→0}{f(h,0)-f(0,0)}/h=0
xに関して偏微分可能
f(0,t)=0だから
f_y(0,0)=lim_{t→0}{f(0,t)-f(0,0)}/t=0
yに関して偏微分可能
だから
lim_{n→∞}(1/n,1/n)=(0,0)
lim_{n→∞}f(1/n,1/n)=1≠0=f(0,0)
だから
f(x,y)は原点で不連続