多重線形関数への置換の作用

If f is a k-linear function on a vector space V and σ is a permutation in Sk, we define
a new k-linear function σ f by
(σ f)(v1,...,vk) = f（vσ(1),...,vσ(k)）とあり、そのあとの群の作用の定義のあと、

Note that each permutation acts as a linear　function on the vector space Lk(V) since σ f is R-linear
とあるのですが、言っている意味がよくわかりません。教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 13:10

線型空間 V 上の実数値 k 重線型関数全体がなす集合を Lk(V)、

f, g を Lk(V) の元、a を実数として、
(f + g)(v1,...,vk) = f(v1,...,vk) + g(v1,...,vk),
(a f)(v1,...,vk) = a f(v1,...,vk).
によって Lk(V) 上の演算を定義すれば、Lk（V) は実線型空間になります。

その上で、そこに書かれてあるとおり
(σ f)(v1,...,vk) = f（vσ(1),...,vσ(k)）
によって置換 σ を Lk(V) から Lk(V) への写像とみなせば、←[*]

(σ (f + g))(v1,...,vk) = (f + g)（vσ(1),...,vσ(k)）
= f（vσ(1),...,vσ(k)） + g（vσ(1),...,vσ(k)）
= (σ f)(v1,...,vk) + (σ g)(v1,...,vk)
により σ (f + g) = σ(f) + σ(g),

(σ (a f))(v1,...,vk) = (a f)（vσ(1),...,vσ(k)）
= a f（vσ(1),...,vσ(k)）
= a (σ f)(v1,...,vk)
により σ (a f) = a σ(f) となり、

σ は Lk(V) 上の線型変換になっています。
Lk(V) が実線型空間でしたから、σ は実線型写像です。

[*]のところで、置換 σ と Lk(V) 上の写像 σ を同じ記号で書いている
ことが混乱のもとでしょうか？
置換 σ を使って定義する Lk(V) の写像に別の記号を用意して
(F[σ] f)(v1,...,vk) = f（vσ(1),...,vσ(k)）
とか定義しても同じことだけれど、式がよけいゴチャゴチャしますからね。

この回答へのお礼

ありがとうございます、そこまで理解、整理ができていませんでした

お礼日時：2019/10/24 19:40