∫√{x²+1}/xdxの計算の途中式を教えて下さい。

∫√{x²+1}/xdxの計算の途中式を教えて下さい。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/08 21:31

t=√(x²+1) と置くと、x²=t²-1 , xdx=tdt

I=∫{√(x²+1)}dx/x=∫{√(x²+1)}xdx/x²=∫{t²/(t²-1)}dt=∫{1+1/(t²-1)}dt
=∫dt +(1/2)∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt=t+(1/2)log{|t-1|/|t+1|}
=t+(1/2)log{|t-1|²/|t²-1|}
=√(x²+1)+(1/2)log{|(√(x²+1))-1|²/|(x²+1)-1|}
=√(x²+1)+(1/2)log{|(√(x²+1))-1|²/|x|²}
=√(x²+1)+log{|(√(x²+1))-1|/|x|}

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/09 20:09

被積分関数の中で邪魔な塊を別の変数に置き換える

というのが置換積分の基本なので、No.1さんの言うとおりかなあ。

他に √(x²+1) の塊を式から消すためには、脊髄反射で x = tanθ
という手もある。こちらで置換すると √(x²+1) = 1/|cosθ|,
dx = dθ/(cosθ)^2 となるけれど、x が実数なら対応する θ は
0 ≦ θ ≦ π/2 の範囲に取ることができて、 √(x²+1) = 1/cosθ.

これを使って計算を進めると、
∫{ √(x²+1) }dx/x = ∫{ 1/cosθ }{ dθ/(cosθ)^2 }/tanθ
= ∫dθ/{ (sinθ)(cosθ)^2) } = ∫(sinθ)dθ/{ (1-(cosθ)^2)(cosθ)^2) }
= ∫-du/{ (1-u^2)u^2 }　　； 更に u = cosθ で置換
= ∫{ -1/u^2 - (1/2)/(1 + u) - (1/2)/(1 - u) }du　　； 部分分数分解
= 1/u - (1/2)log(1 + u) + (1/2)log(1 - u) + C　　; C は定数
= 1/u - (1/2)log{ (1 - u)/(1 + u) } + C
= √(x^2+1) - (1/2)log{ (√(x^2+1) - 1)/(√(x^2+1) + 1) } + C
= √(x^2+1) - (1/2)log{ (√(x^2+1) - 1)^2/x^2 } + C　　； 分母の有理化
= √(x^2+1) - log{ √(x^2+1) - 1 } + log| x | + C.

結果が少し違うか。