立方体の各面に、隣合った面の色は異なるように色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は

立方体の各面に、隣合った面の色は異なるように色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

画像のように考えましたが、解答は｢[1]×5×(4-1!)｣でした。なぜ6色をかけないのですか？

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/11 12:22

下の底面と上の底面を固定した場合、６ｘ５＝３０通りになりますが。

側面の対する面でも同じことが言えるので
3倍数え過ぎています。更に下の底面と上の底面と側面の対する面をひっくり返すと同じになるので2倍数えすぎています。よって、３ｘ２で割る必要があります。３０÷６＝５通りでそれらの側面塗り方は円順列の（４－１）！です。
従って、５ｘ（４－１）！となります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/10 13:32

十字の中心（6色と書かれた面）を底面とみなし、これにAと言う色を塗ったとします

すると上面（5色と書かれた面）の色はBからFの5通り
そして側面が円順列で(4-1)!
従って底面がAのときは、残りの面の塗り方が5x(4-1)!通りですよね
ここで、底面をA以外の色で塗ったとします。
この場合もAは上面か側面のどこかに必ず塗られます
回転させたて一致するものは同一とみなすのですから、Aが塗られた面を強制的に底面だとみなしてしまえばどうでしょうか？
すると、Aがどこに塗られていてもAが底面となりますから、底面は1色（A)に固定できるのです
従って、底面は６通りではなく１通りです
ゆえに1x5x(4-1)! と言う計算になります

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2019/11/10 13:28

＞なぜ6色をかけないのですか

x6 とすると、「立方体を回転させて一致する塗り方」も
一緒に考えることになりませんか。