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「立方体の6つの面を6色で塗り分ける方法は何通りありますか?」という問題で、答えを見たら、5×(4-1)!で30通りでした。
なぜこのような式になるのでしょう?

質問者からの補足コメント

  • 私は最初、6×5×4×3×2×1=720通りだと思っていました。

      補足日時:2018/09/20 16:10

A 回答 (5件)

公式と言うより、考え方を押さえてください



4この円順列の場合は東西南北に4つ席がありそこにABCDが座るとします。
北東南西の順に 座り方のパターンは
ABCD
BCDA
CDAB
DABC
などがありますが
これらは右回りに回転するとみんなABCDです。
したがって上記4パターンは同一のものとみなし、右回りにABCDで1通りと数えます。
この他に
ACBD
DACB
BDAC
CBDA
などもやはり回転すれば同じなので同一のものとみなします。
ですから、北東南西に4人を座らせる方法は4!通りとした場合、この中には4通りづつ重複があるのです
これを解消する目的で4!を4で割り
今回求めるべき円順列は
4!/4=(4-1)!・・・公式 
となるのです。

または、初めにAを北に固定して残り3か所にBCDを座らせると考えて
円順列は(4-1)!と考えても良いです。

ここまでが円順列について
ここからは立方体塗り分けについて
6面のうち1面は必ずAと言う色に塗られます。
なので、Aに塗られた面を底面とみなしてしまいます。
すると、上面の決め方はBCDEFと言う色のいずれかで塗られることになるので5通り
仮にBで上面を塗った場合、側面はABの色の面で挟み込まれることになり、これはいくら立体を回転してもABで残り4面を挟み込むことに変わりがありません。
このことから残り4面をはさみこむ色は
AB
AC
AD
AE
AF
の5パターンあることは立体を回転させることには影響を受けません。
だから、A色を底面とみなした場合上面の色の決め方は回転に影響されず5通りとなるのです。

底面と上面が決まったら、立体を切り開いて展開図の状態にします。
画像は上面を省略した展開図です。
これをみると側面の塗り方は前述の円順列そのものですよね!
したがって側面の塗り方は(4-1)!となります。
ABで側面を挟む場合側面の塗り方が(4-1)!
AC、AD,AD,AE,AFで側面を挟む場合もやはり側面の塗り方が(4-1)!ずつ
ゆえに5x(4-1)!通りが塗り分け方の総数となります。

(なお、この5x(4-1)!通りの中には例えば、BCで側面を挟み込むパターンなども既に含まれていますので、5x(4-1)!通り以外に別の塗り分け方は存在しません!)
「「立方体の6つの面を6色で塗り分ける方法」の回答画像5
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この回答へのお礼

丁寧に解説してくださってありがとうございます!

お礼日時:2018/09/22 18:09

組み合わせ勉強し直そうよ

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この回答へのお礼

勉強し直します!

お礼日時:2018/09/20 17:07

底面をA色に決めた時


上面の決め方が5通り
更に、残り4色で塗るから、側面の塗り方は(4-1)!<<<回転すると同じものが現れるから、円順列
あわせて、5×(4-1)!
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この回答へのお礼

とにかく円順列の公式を覚えれば解けますね。
ありがとうございます!

お礼日時:2018/09/20 16:36

この問題文だと、あくまで「6面を6色で」塗り分けなくてはいけません。


6×5×4×3×2×1だと、6色全てを使い切れずに5~1色だけになるパターンまで含まれて
しまうのです。
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この回答へのお礼

たしかにそうですね!
円順列の考え方でしょうか?
ありがとうございます!

お礼日時:2018/09/20 16:33

解釈の相違かと思います。


例えば、それを机の上に置いた時、
側面4面の塗順数は、回転させることで1/4に減ってしまいます。
いじわるの一種でしょう。
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この回答へのお礼

なるほど!回転しても同じものとする、という事でしょうか。
ありがとうございます!

お礼日時:2018/09/20 16:22

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