画像の問題について、「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn

Question

画像の問題について、「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn≦1」が成り立つとあるのですが、どこから導いたのでしょうか。

ありものがたり · Accepted Answer

さて、それでは実際にやってみましょうか。

(1)は、白玉に 1,2,3,4,5 、赤玉に 1,2,3,...,n と番号を書き込んで考えると、
合計 n+5 個の玉から 2 個取り出す組み合わせが (n+5)C2 = (n+5)(n+4)/2 通り。
白玉１個と赤玉 1 個を取り出す組み合わせは、白赤それぞれの玉の選び方から 5n 通り。
白玉１個と赤玉 1 個を取り出す確率は、p(n) = 5n/{(n+5)(n+4)/2} = 10n/((n+5)(n+4)).

(2)では、(1)の結果を用いて
p(1) ≦ p(2) ≦ ... ≦ p(N-1) ≦ p(N) ≧ p(N+1) ≧ p(N+2) ≧ ...
となる N を求めるわけですが、それには、解説に書いてあるように、
p(N) > 0 を利用して変形した p(N-1)/P(N) ≦ 1 ≧ p(N+1)/P(N) を解いてもいいし、
もう少し変形して p(N)/P(N-1) ≧ 1 ≧ p(N+1)/P(N)　を解いてもいいのです。
こっちの式だと、p(N)/P(N-1) と p(N+1)/P(N) が N をひとつずらしただけ
の関係になっていて、式を操作する上でお得感があります。
1 ≧ p(n+1)/p(n) を満たす最小の n を N とすればいいからです。

(1)の結果から、 p(n+1)/p(n) = { 10(n+1)/((n+6)(n+5)) }/{ 10n/((n+5)(n+4)) }
= (n+1)(n+4)/((n+6)n) となるので、
1 ≧ p(n+1)/p(n) となる n の条件は、不等式 1 ≧ (n+1)(n+4)/((n+6)n) と書けます。
n が自然数なら (n+6)n も自然数なので、
両辺にこれを掛けて分母を払うと (n+6)n ≧ (n+1)(n+4).
移項して整理すると、0 ≧ (n+1)(n+4) - (n+6)n = -n+4.
この式を満たす自然数 n は、n ≧ 4 です。

以上で、n ≧ 4 のとき p(n+1)/p(n) ≦ 1、 n < 4 のとき P(n+1)/p(n) > 1 と判ったので、
写真の解説にある考え方を使って、 p(1) < p(2) < p(3) < p(4) ≧ p(5) ≧ p(6) ≧ ...
p(4) が p(n) の最大値だと判ります。 max{p(n)} = p(4) = 10・4/(9・8) = 5/9 です。

tknakamuri · Answer

これは予想、あるいは仮説であって、最大値を求める場合の
ひとつの戦術に過ぎません。

予想が当たれば最大値が求まるし、外れれば
その戦術からは求まりません。別の戦術を探す
ことになります。

masterkoto · Answer

この問題に限らず、この手の（確率の）類題で確率pnの最大値などを調べる有効手段が画像の囲みです例えば、p1p5>p6 と言う関係がある時最大値はどれになりますか？ P1はP2より小さい　 P2はP3より小さい P3はP4より小さい P5はP4より小さい P6はP5より小さいということは、どれにも大きさで負けていないのがP4という事になりますよねよってP4が最大これらを不等式にすると P2>p1⇔p2/p1>1 同様に p3/p2＞１ p4/p3>1 これくらいの分量ならすべてを書き出すことも可能ですが、もし数がもっと増えれば全てを書き出すことがとても大変になりますという事でこれらを文字nを使いひとまとめに表現したのが p[n+1]/p[n]>1です例えばn=2を代入すればp3/p2＞１となるので、ｎを順次変えていけばすべてのケースを網羅しているのです同様に考えて　P4>P5以降についてはp[n+1]/p[n]<1ですそして、Nと言うのは不等号の向きが変わる境目の事です（上の例で言えばｐ４の４がNに相当）画像の囲みはこのような仕組みを文字ｎとNを使って短い表現で言いあらわしているだけの事に過ぎないのですでも、この囲みを覚えるよりは p1p5>p6 または、画像にあるように p1pN+1>・・・　と言う関係をまずは突き止めその場合、最大値はPN だよということを理解する方が良いと思います（囲みを覚えるのは大変だろうと思いますし、表現的にもややこしいですから・・・）ちなみに、必ずしも＜、＞ではなく ≦や≧の場合だってあります例えば p1p5>p6や p1≦p2≦p3≦p4≧p5≧p6 と言うケースだって有り得るわけですこれを考慮して囲みでは＜、＞ではなく ≦、≧という記号が使われています

ありものがたり · Answer

画像の解説には、その問題について
「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn≦1」が成り立つ
とは書かれていません。
落ち着いて、文章をきちんと読みましょう。
「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn≦1」が『成り立てば、』〜が成り立ちます。だから〜
と書いてあります。
そのページの問題について
「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn≦1」が成り立つ
かどうかは、その文章を読んだ貴方が、(1)の結果を用いてこれから確認するのです。
そこを確認すれば、『だから〜』以降のことが成立すると判り、
N を発見することで(2)が解けるよ という解説なのです。

画像の問題について、「n≦N-1のとき、P(n＋1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n＋1)/Pn

さて、それでは実際にやってみましょうか。

これは予想、あるいは仮説であって、最大値を求める場合の

この問題に限らず、この手の（確率の）類題で

画像の解説には、その問題について

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