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赤3個、白2個入っている袋から2個のボールを取り出すとき2個とも同じ色である確率を求める問題で、
(1)一個を取り出して袋に戻さずもう一個取り出す
(2)二個の玉を同時に取り出す
(3)一個を取り出して袋に戻してもう一個取り出す
の3つの取り出し方があります。(1)と(2)は同じことだと参考書にありました。同じ色に記号をつけて、それぞれ、どういう数え方をするのか、この3つのそれぞれの考え方よかったら教えてください。

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A 回答 (5件)

(1)は動きを2つにわけて考えます。

ちなみに赤はr、白はwとします。
まず2個とも白である確率から→一つ目の動作の段階で袋の中は(r・r・r・w・w)。5個中2個がwなので、wの出る確率は2/5。で、ボールを戻さずにもう一個取り出す。袋にはボールが全部で4個(r・r・r・w)。そのうちwは1個。よってもう一度wのでる確率は1/4。で両方の確率をかけて2/5×1/4=2/20=1/10
同様に、一つ目の動作でrが出る確率。袋の中は(r・r・r・w・w)なので5個中3個がr。よって3/5。で二つ目の動作の段階で袋の中は(r・r・w・w)。よって2/4=1/2。両方をかけて、3/5×1/2=3/10
そして2個ともwである確率とrである確率を足して4/10となります。


(2)は(1)の動作を時間差なく行ったものなので確率は一緒になります。

(3)は(1)(2)とは2度目の動作の時の袋の内容が違うので確率も変わります。
両方wの確率は、1回目・2回目とも2/5なので、2/5×2/5=4/25
両方rの確率は、3/5×3/5=9/25
これらを足して13/25となります。
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こんばんは、uririnさん


この問題と似た問題で説明します。
男性3人、女性2人の5人のグループでリーダーとサブリーダーをきめる。
(1)リーダーとサブリーダーが同じ性別である確率は?
(2)役職を持つ2人が同じ性別である確率は?
(3)リーダーとサブリーダーの兼任を認めた場合、リーダーとサブリーダーが同じ性別である確率は?
(1)と(2)は基本的に同じ質問ですから、確率は同じになるのは当然です。
しかし、(3)の場合は同じ性別の2人が選ばれる確率に兼任のケースが加わるのでほかのケースより確率はたかくなります。
赤玉を男性、白玉を女性として、最初に選んだ玉をリーダー、2番目に選んだ玉をサブリーダーと考えると最初の問題と同じになると思います。
(3)のケースは1回目と2回目が同じ玉を引く可能性がある分確率が高くなります。
最初の例は余計に混乱させたら申し訳ありません。
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まず(1)と(2)から。



赤3白2の合計5個のボールから2個,順番を気にせず取出す場合全部で何通りあるかと言うと,5C2=10 と10通です。(実際には5C2の5と2は下付きの小さい文字でしめします。この計算はわかりますよね?。)

次に赤のみ2個が何通りあるかというと,赤3個中2個の組み合わせになるので,
3C2=3通り
白のみ2個は同様に
2C2=1通り

同じ色となるのは全部で4通り

ここまでくれば確立何%かわかります。

(3)の場合
ボールを戻すので,常に5個あることになります。
初めのボールは5個のうちどれか,2回目も5個のうちどれかなので,5×5=25 通りの組合せがあります。

次に2回とも赤の組み合わせは,初めは3個の赤のうち1つ,2回目も3個の赤のうち1つとなるので,3×3=9通り。同様に白は2×2=4通り。合わせて13通りとなり,こちらも何%となるかわかります。
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(1)と(2)について


結果として袋から2個のボールを取り出し、袋の中のボールが5個から3個になるので、取り出すタイミングにズレはあるけど同じ事となります。
最初のボールが赤だと、次は4個のボールから赤を引く確率を計算します。同様に最初が白だと次に4個のボールから白を引く確率を計算します。両方を足したものが同じ色である確率ということです。
(3)では、取り出したボールを毎回袋に戻すため、取り出す時には何時も5個のボールが袋に入っている状態です。
従って赤、赤となる確率と、白、白となる確率を足せば、同じ色である確率となります。
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(3)では,1個目のボールが取り出されるときの袋の中の状態と2個目のボールが取り出されるときのそれが,まったく同じです.これに対して,(1)では,2個めを取り出すときの袋の状態は,ボールが1つ減っているので,1個目を取り出すときとは異なります.



また,同じ色のなる確率を考える場合は,取り出された順序を考慮しなくていいので,(1)と(2)が同じになるわけです.

(1)の場合,5個から1個取り出し,それが白の場合
さらに,残りの4個から1個取り出し,それも白の場合
を求め,同様に赤・赤と続く場合を求めて,赤が出ることと白が出ることは別個の事象なので,これを足し合わせて,求める確率となります.

(3)の場合,5個から1個取り出し,それが白の場合
さらに,また同じく5個から1個取り出し,それも白の場合 と数え,同様に赤が続く場合も計算します.
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Q反復試行の確率

赤球1個と白球2個と青球3個が入った袋から1個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻すことを5回行う。この時、赤球が1回、白球が2回、青球が2回出る確率を求める問題です。答えは5/36なんですが、解き方がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

詳しい計算方法はNo.1の方が書いておられますので
公式を書いておきます。

組み合わせの記号を使って

5C1×4C2×2C2×(1/6)×(2/6)^2×(3/6)^2
です。

若干補足しておくと
最初の5C1の5は反復を5回行うという意味で
うち1回が赤なので5C1です。
次に5回中1回は赤と決めたので残りは4回
その4回中2回が赤なので4C2
これで5回中3回分決まったので残り2回
2回中2回青なので2C2となります。
(計算したら2C2=1なので最後の2C2は掛け算しなくても結果自体は一緒になりますが)

最後に赤が1回出る確率1/6
白が2回出る確率(2/6)^2
青が2回出る確率(3/6)^2
を掛け算しておしまいです。

公式覚えてしまえばかなり計算は速くなりますが
大学受験に必要なら公式なしでもできるようにしておきましょう。

Q赤玉と白玉の確率

「袋の中に白玉4個と赤玉2個が入っている。まず、この袋から無作為に玉を1個取り出し、次に赤玉と白玉を1個ずつ袋に入れる。そして、もう一度この袋から無作為に玉を1個取り出したとき、それが赤玉である確率を求めよ。」

こちらの問題の答えは「8/21」と記されているのですが、解き方が分かりません。「一度一個取り出してから、赤白の玉を入れる」という操作があるので、どう式を立てればよいか分からなくなりました。「C」の公式を使えばよいのでしょうか。

どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

1回目に取り出した玉が赤であるか白であるかで場合分けを考えてみましょう
起こりうる場合は
(1)1回目に赤を取り出し2回目も赤である場合
または
(2)1回目に白を取り出し2回目に赤を取り出す場合
で互いに排反する

(1)のとき1回目に赤を取り出す確率は2/6
残っている玉は(赤、白)=(4,1)
新しく玉が入って(赤、白)=(5,2)となるので2回目に赤を取り出す確率は2/7
このときの確率は(2/6)*(2/7)

(2)のとき1回目に白を取り出すのは4/6
残っている玉は(赤、白)=(3,2)
新しく玉が入って(赤、白)=(4,3)となるので2回目に赤を取り出す確率は3/7
このときの確率は(4/6)*(3/7)

よって求める確率は(2/6)*(2/7)+(4/6)*(3/7)となります。

Q中2数学・確率の問題。解説をお願いします。

『赤玉4個白玉6個、同時に2個取り出す時個とも同じ色である確率は。』

という問題の答えと、その導き方が解りません。

確率で使う、Cをネットで調べましたがよく解らないので、できたらCを使わないやり方で解き方を教えて頂けると助かります。



宜しくお願いします。

Aベストアンサー

2個とも同じ色、ってことは、両方赤 か 両方白 ってことです。

【両方赤の場合】
・ 1回目に赤を引く確率は、10個中4個なので、4/10

・ 2回目を引きますが、このとき全部の玉は9個になっています。そして残っている赤は3つですから、
  2回目に赤を引く確率は、9個中3個。 3/9

したがって、両方赤を引く確率は、4/10 × 3/9 = 12/90

【両方白の場合】
・ 1回目に白を引く確率は、10個中6個なので、6/10

・ 2回目を引きますが、このとき全部の玉は9個になっています。そして残っている白は5つですから、
  2回目に白を引く確率は、9個中5個。 5/9

したがって、両方白を引く確率は、6/10 × 5/9 = 30/90


両方赤、両方白の確率を合計すると、12/90 + 30/90 = 42/90 = 7/15

答えは 15分の7。

だいたい46.6%ってことですね。半分弱の確率ってこと。

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

条件付き確率の問題です。

赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。

初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。

C(コンビネーション)を使ったやり方で解説されているのですが、なぜコンビネーションなのかわかりません(^_^;)

解答は8C1分の3C1となっています。

Aベストアンサー

どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

Q赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出す時、次の確率を求めなさい。

赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出す時、次の確率を求めなさい。

(1)1個が赤玉、1個が白玉が出る確率

( 2 )2個とも異なる色がてる確率

( 3 )2個とも同じ色が出る確率

数学の問題です。分からないので、1からわかりやすく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

先ずは一遍にやらないで、起こりえる場合の数を数えて見る。
上手いやり方はその後勉強すれば良い。

起こりうる場合の数を正確に数えて分母、出た結果の色も場合の数を正確に数えて分子とする。

起こりうる場合の数は30通り。赤赤でも場合の数は2通りある。
各球に番号を付けると以下
赤1、赤2、青1、青2、白1、白2

ここから2個取り出す場合を列挙して見る

赤1-赤2、赤1-青1、赤1-青2、赤1-白1、赤1-白2
赤2-赤1、赤2-青1、赤2-青2、赤2-白1、赤2-白2
青1-赤1、青1-赤2、青1-青2、青1-白1、青1-白2
青2-赤1、青2-赤2、青2-青1、青2-白1、青2-白2
白1-赤1、白1-赤2、白1-青1、白1-青2、白1-白2
白2-赤1、白2-赤2、白2-青1、白2-青2、白2-白1

可能性は30通り

(1)1個が赤玉、1個が白玉が出る確率
赤白は上に列記した中で、8通りの場合がある


( 2 )2個とも異なる色がでる確率
上に列記した中で異なる色は24通りの場合がある

( 3 )2個とも同じ色が出る確率
上に列記した中で同じ色は、6通りの場合がある

先ずは一遍にやらないで、起こりえる場合の数を数えて見る。
上手いやり方はその後勉強すれば良い。

起こりうる場合の数を正確に数えて分母、出た結果の色も場合の数を正確に数えて分子とする。

起こりうる場合の数は30通り。赤赤でも場合の数は2通りある。
各球に番号を付けると以下
赤1、赤2、青1、青2、白1、白2

ここから2個取り出す場合を列挙して見る

赤1-赤2、赤1-青1、赤1-青2、赤1-白1、赤1-白2
赤2-赤1、赤2-青1、赤2-青2、赤2-白1、赤2-白2
青1-赤1、青1-赤2、青1-青2、青1-白1、青1-白2
青2-赤1、...続きを読む

Q条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す)

条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す)
高校教科書レベルの問題ですが、よろしくお願いします。

数研の数学Bの教科書の条件付き確率の問題で次のようなものがありました。

白玉7個と赤玉3個の入っている袋から、玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 省略
(2) 同時に5個を取り出したとき、3個が白で2個が赤である確率
(3) 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤である確率

* 以下の解答ではn個からr個を取り出したときの組み合わせをC(n,r)と表します。

【解】
(2) C(7,3)*C(3,2)/C(10,5)=5/12

(3) 私は(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし、即座に5/12と出したのですが、参考書(教科書ガイド)には次のような詳しい解がありました。

質問は、私がしたように、「(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし」てもよいかどうかということです。たしかに下のようにやれば厳密で、お説ごもっともではありますが、時間の無駄(失礼!)とも思えるのですが。

【教科書ガイドの解答】
順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤となる場合の取りだし方は、同じものを含む順列と考えて、5!/3!2!=10(通り)である。

その1通りについて、例えば、白白白赤赤と出るときの確率は
(7/10)*(6/9)*(5/8)*(3/7)*(2/6)=1/24 で、これは分子の積の順序が異なるだけで10通りのすべての場合に等しく、それぞれの事象は排反である。

従って、加法定理により、(1/24)*10=5/12

以上、よろしくお願いいたします。

条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す)
高校教科書レベルの問題ですが、よろしくお願いします。

数研の数学Bの教科書の条件付き確率の問題で次のようなものがありました。

白玉7個と赤玉3個の入っている袋から、玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 省略
(2) 同時に5個を取り出したとき、3個が白で2個が赤である確率
(3) 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤である確率

* 以下の解答ではn個からr個を取り出したときの組み合わせ...続きを読む

Aベストアンサー

この問題の目的は、(2)と(3)が同じ答えになることを見つけさせることだと思います。

テキストと同じ答え(解き方に)しないと正解を出さない先生が多いから、数学嫌いが増えるのです。

実際のテストでは、(2)と同じ答えだからという説明だけで答えを書くと「ごまかした」と思われて点数はもらえないでしょう。

時間の無駄かもしれませんが、テストでは、誤解されないように解答しておく必要がありますね。点数はもらえなくてもよいから、そんなわかりきったことを計算しないでも良いと押し通せる人のほうが、将来は楽しみだと思います。

Q確率において【同時に取り出す】ことについて

確率の問題で「同時に取り出す」という文言があったら、
取り出す順番は考えなくてよいと教えてしまってよいでしょうか?

例えば白玉2個、赤玉3個が入っている袋から白玉1個と赤玉1個を
「同時に取り出す」とき、・・・
といった問題があった場合、

別々に白玉を取り出すことをそれぞれa1,a2、
別々に赤玉を取り出すことをそれぞれb1,b2,b3
同時に取り出した玉をの組を(a1,b1)と表すとすると
「同時に取り出す」とあるから
順序は気にせず(am,bn)=(bn,am)
を同一視してもいいんだよと単純に教えて大丈夫でしょうか?

ご教授宜しくお願いします。

Aベストアンサー

教えて大丈夫かということは、教育する立場にある方ですか。

>同時に取り出す→取り出せる順番がわからない→順序は気にしない→組合せ。

最後が違います。
順序は気にしない→気にしてもかまわない→簡単なほうで解け、です。
あるいは、両方で解いて確認しろ、でもいいでしょう。

取り出す順番を考える必要があるかどうかは、
試行ではなくて質問で区別するものです。

求める確率や場合の数の中に、n番目、n回目という条件があった時に、
初めて順番で考える必要が発生します。

それ以外であれば、試行として、同時に取り出そうが、順に取り出そうが、
最終的に起こる結果は同じであり、簡単なほうで解くように指導すべきです。

現に、この問題にしても、順序をつけて考えると、
1個目白、2個目赤の確率:2/5×3/4
1個目赤、2個目白の確率:3/5×2/4
合計:3/5

組合せで考えると、
白と赤1個ずつの組み合わせの数:2C1×3C1
10個から2個取り出す組合せの総数:5C2
求める確率:2C1×3C1/5C2=3/5

と、結果は同じであり、順序をつけるほうが簡単なことがわかります。


参考までに、3人でじゃんけんをしてあいこになる確率も同様です、

じゃんけんも同時に出しますが、順序をつけて考えると、
2人目、3人目が1人目と同じものを出す確率:1/3×1/3
2人目が1人目と違うものを出し、3人目がさらに違うものを出す確率:2/3×1/3
合計:1/3
というように、組合せから計算するよりもはるかに簡単に解けます。

教えて大丈夫かということは、教育する立場にある方ですか。

>同時に取り出す→取り出せる順番がわからない→順序は気にしない→組合せ。

最後が違います。
順序は気にしない→気にしてもかまわない→簡単なほうで解け、です。
あるいは、両方で解いて確認しろ、でもいいでしょう。

取り出す順番を考える必要があるかどうかは、
試行ではなくて質問で区別するものです。

求める確率や場合の数の中に、n番目、n回目という条件があった時に、
初めて順番で考える必要が発生します。

それ以外であれ...続きを読む

Q数学A確率の問題です。解説と答えを教えてください。 Aの袋には白玉1個と黒玉2個. Bの袋には白玉2

数学A確率の問題です。解説と答えを教えてください。
Aの袋には白玉1個と黒玉2個. Bの袋には白玉2個と黒玉1個が入っている。Aの袋から2個の玉を取り出してBの袋に入れた後, よ
くかき混ぜてBの袋から2個取り出してAに入れる。以上のことを1操作とし, この操作を続けて2度行うものとする。第1回の操作の
後, Aの袋の中に白玉がk個ある確率をP(k)とするとき,次の問いに答えよ。
(1) Aの袋から2個の玉を取り出すとき,白玉1個,黒玉1個が取り出される確率を求めよ。
(2) P(0), P(3)を求めよ。
(3) P(1), P(2)を求めよ。
(4) 2度の操作の後, Aの袋の中に白玉が無い確率を求めよ。

Aベストアンサー

出直して来ます。

Q数学A 組合せ 赤玉、青玉、白玉が5個ずつ入った箱から5個の玉を取り出す。取り出し方の組合せは何通り

数学A 組合せ

赤玉、青玉、白玉が5個ずつ入った箱から5個の玉を取り出す。取り出し方の組合せは何通りあるか。また、各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組合せは何通りあるか。

答えは順に21通り、6通り

解き方が分かりません。
解説お願いします。

Aベストアンサー

(1問目) 取り出し方の組合せ

5個の丸と2個の仕切り 〇〇〇〇〇|| を一列に並べる場合の数だけある。

2個の仕切りによって
赤|青|白
とすればよい。


例えば

〇|〇〇|〇〇  と並べれば  赤玉1個、青玉2個、白玉2個 を表し、

|〇〇〇〇|〇  と並べれば  赤玉0個、青玉4個、白玉1個 を表し、

〇〇〇||〇〇  と並べれば  赤玉3個、青玉0個、白玉2個 を表す。

なので
7C2=76/21=21 (通り)  

もしくは、
7!/5!2!=7・6・5・4・3・2・1/5・4・3・2・1・2・1=21 (通り)


=================================================================



(2問目) 各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組合せ

上と同じ考え方をすれば
まず、5個の玉のうち、3個の玉はそれぞれ赤玉、青玉、白玉にを1個ずつ振り分け、

残り2個の玉の取り出し方を考える。
つまり、2個の丸と2個の仕切り 〇〇|| を一列に並べる場合の数だけある。


例えば

〇|〇|  と並べれば  赤玉1個、青玉1個、白玉0個 を表し、初めに振り分けた1個ずつを合わせて  赤玉2個、青玉2個、白玉1個  を表し、


||〇〇  と並べれば  赤玉0個、青玉0個、白玉2個 を表し、初めに振り分けた1個ずつを合わせて  赤玉1個、青玉1個、白玉3個  を表す。

なので
4C2=4・3/2・1=6 (通り)   4!/2!2! でもよい




【 別解 】

5個の丸の間に2個の仕切りを入れる

〇 〇 〇 〇 〇
∧ ∧ ∧ ∧
1 2 3 4

仕切りは4か所の中から2か所選んで入れる

例えば
1と4を選べば  〇|〇〇〇|〇  となり  赤玉1個、青玉3個、白玉1個  を表し、

3と4を選べば  〇〇〇|〇|〇  となり  赤玉3個、青玉1個、白玉1個  を表し、

2と3を選べば  〇〇|〇|〇〇  となり  赤玉2個、青玉1個、白玉2個  を表す。


なので
4C2=4・3/2・1=6 (通り)


~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1問目と2問目は0個もO.K.なのか、ダメなのかに気をつけること。

2問目は自分の解きやすい方法で解けばよい。

(1問目) 取り出し方の組合せ

5個の丸と2個の仕切り 〇〇〇〇〇|| を一列に並べる場合の数だけある。

2個の仕切りによって
赤|青|白
とすればよい。


例えば

〇|〇〇|〇〇  と並べれば  赤玉1個、青玉2個、白玉2個 を表し、

|〇〇〇〇|〇  と並べれば  赤玉0個、青玉4個、白玉1個 を表し、

〇〇〇||〇〇  と並べれば  赤玉3個、青玉0個、白玉2個 を表す。

なので
7C2=76/21=21 (通り)  

もしくは、
7!/5!2!=7・6・5・4・3・2・1/5・4・3・2・1・2・1=21 (通り)

...続きを読む

Q例えば16の4分の3乗は?

お恥ずかしい質問ですみません。
例えば「16の2分の1乗」って、4ですよね?
では、「16の4分の3乗」っていくつでしょうか?
計算の考え方と答えを教えて下さい。

Aベストアンサー

aのb乗をa^bで表します。これには次の法則があります。

a^(b*c)=(a^b)^c

これで分解すると

16^(3/4)={16^(1/4)}^3=2^3=8



ところで1/4乗は

16^(1/4)=16^(1/2*1/2)={16^(1/2)}^(1/2)=4^(1/2)=2

と計算してもいいですね。


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