数学Bの問題です 1/2k(2k+2)がなぜマーカー部になるのかがわかりません。 計算法を教えてくだ

数学Bの問題です

1/2k(2k+2)がなぜマーカー部になるのかがわかりません。
計算法を教えてください(TT)

No.7 回答者： Quickanswer 回答日時： 2019/11/26 22:14

1/k(k+1)={(k+1)-k}/{k(k+1)}=1/k-1/k+1のように分母の因数を分子に上手く作れれば部分分数展開が出来ますよ。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/25 00:08

皆さん書いておられるように、部分分数分解です。

最初に分母から 4 を括り出して 1/{2k(2k+2)} = (1/4){ 1/(k(k+1)) }
とすると、少しだけ計算が楽になります。

1/(k(k+1)) を変形することになりますが、1/(k(k+1)) = a/k + b/(k+1)
となる定数 a, b があることは知っていてください。
この形の変形を「部分分数分解」と呼びます。
a, b の値を求めるには、右辺の分数の個数がこのように少ないときには、
右辺を通分して左辺と比べてもよいです。
もとの分数式の分母の次数が高くて、右辺の分数の個数が多くなるときには、
下記のような求め方があります。

1/(k(k+1)) = a/k + b/(k+1) の両辺に k を掛けると、1/(k+1) = a + bk/(k+1).
あとの式へ k = 0 を代入すると、1/(0+1) = a.
1/(k(k+1)) = a/k + b/(k+1) の両辺に k+1 を掛けると、1/k = a(k+1)/k + b.
あとの式へ k = -1 を代入すると、1/(-1) = b.
よって、1/(k(k+1)) = a/k + b/(k+1) = 1/k - 1/(k+1).

ここで最初の式へ戻って、1/{2k(2k+2)} = (1/4){ 1/(k(k+1)) } = (1/4){ 1/k - 1/(k+1) }.
結果的に 1/{2k(2k+2)} = f(k) - f(k+1) という形で表されることになったので、
総和したときに中のほうの f(k) が±でごっそり相殺されて、
1/(２・４) + 1/(４・６) + ... + 1/{2n(2n+2)} = (1/4){ 1/1 - 1/(n+1) } となる例のアレ
になったのです。

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/11/24 19:03

部分分数分解だから、教科書に載ってない！？

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/24 17:17

1/2k(2k+2)を1/4でくくり、１/4k(k+1)を1/4(a/k-b/(k+1))の形にするためです。

a/k-b/(k+1)を通分して分子がa(k+1)-bk＝１になるa,b=1と分かるので
１/4k(k+1)＝1/4(１/k-１/(k+1))とすると
-１/(k+1)と次の＋１/(k+1)が相殺されて、最初と最後のみ残ると言う
数列の和を求める１つのテクニックです。

No.3 回答者： もこうくん 回答日時： 2019/11/24 15:00

部分分数分解では?

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/24 12:33

1={2K+2-2k}x(1/2)と言うように分子を2k+2と2kで書きなおすと

1/2k(2K+2)=１÷{2k(2K+2)}
=[{2K+2-2k}x(1/2)]÷{2k(2K+2)}・・・別表現では(1/2)[{(2K+2)-2k}/{2k(2K+2)}]
={K+１-k}÷{2k(2K+2)}
＝{K+１-k}/{2k(2K+2)}
＝{(K+１)/2k(2K+2)}-{k/2k(2K+2)}
=(1/4k)-{1/(4(k+1)}
=(1/4)(1/k-1/k+1)
ということです

No.1 回答者： ふう太 回答日時： 2019/11/24 12:18

がんばってください。