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実数を係数体とする有理関数体R(X)は
(実数係数の多項式の有理式と思ってます。)∀a,b∈R(X)に対して順序を
「a<b ⇔ b-a>0」「a=b ⇔ a-b=0」と定義すると
1. K の任意の2元 α, β に対して,α < β,α = β,α > β のうちの1つだけが必ず成り立つ(全順序関係).
• α < β または α = β の時には α ≤ β と書く.
• α ≤ β かつ β ≤ γ ならば α ≤ γ である(推移律).この意味で K は全順序集合である.
2. 四則演算と順序は両立している.つまり,
• α ≤ β ならば α + γ ≤ β + γ である.
• α ≤ β かつ γ ≥ 0 ならば αγ ≤ βγ である.
が成り立ちますよね。
違っていたらご教授お願いします。

A 回答 (3件)

変だよと言われた途端に、定義をまるっきり変えてしまう所を見ると、何がやりたくてこういうご質問が出てくるんだかさっぱりわからないのだけれども、もしかして関係の代数を勉強する過程で自主的に演習をなさっているんだろうか。


 「有理関数体」なるものをきちんと(well definedになるように)定義した上で、次数を使って大小を定義するなら、全順序になるでしょ。しかし、"="ってのは特別な関係で、a=bと言ったらaとbはあらゆる意味において同じでなくちゃいけない。次数が同じであることをたとえば"≡”で表す、というのならOK。
 なお「きちんと」というのは、定数関数 f(x) = 0 を「有理関数体」に含むとするなら0/x の次数はどう計算するのか、だとか、無限級数(たとえば Σ((x^n)/n!)とか Σ(1/(x^n))とか)をどう扱うかとか、お考えの「有理関数体」はそもそも体なのかどうかだとか、そういうところをしっかり詰めろ、ってことです。
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「a<b ⇔ b-a>0」が意味不明。


b-a>0 を ∀x∈R, b(x)-a(x)>0 の意味とするなら、その順序は全順序ではない。
b(x)-a(x) の値域に正負両方の数があれば a と b は比較できないからね。
それとも、R(x) の元 c について「c>0」の定義が何か他にあるのだろうか?
あるなら、それを書かないと議論が始まらない。
K = R(x) は、まあツッコまないにしても。
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a,b∈R(X)である a=3x+1, b=2x-1のときのa,bの順序関係は?


Kと有理関数体R(X)の関係は?
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
K=R(X)でした。
上記は忘れて下さい。
比較する有理式をa/b,c/dだとしてad,cbという多項式を考えて次数deg(ad)>deg(cb)だとしたらa/b>c/dとしてdeg(ad)=deg(cb)だとしたらa/b=c/dとしたどうでしょうか。

お礼日時:2019/11/27 16:46

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