2変数関数の極値の問題について 関数 f(x,y)=(x+y)e^(-x^(2)-y^(2) )の極

2変数関数の極値の問題について
関数 f(x,y)=(x+y)e^(-x^(2)-y^(2) )の極値を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/03 08:48

fx={1-2x(x+y)}exp(-x²-y²)=0

x,yの対称性から fy={1-2y(x+y)}exp(-x²-y²)=0
すると
2x(x+y)=1=2y(x+y) となる。(x+y)=0 なら、1=0 となり、x+y≠0 なので、両辺を (x+y)
でわって、y=x をえる。これを元の式に入れると
4x²=1 → x=±1/2 および y=±1/2 (複合同順)
これが停留点となる。

fxx=2{-(3x+y)+2x²(x+y)}exp(-x²-y²)
x,yの対称性から
fyy=2{-(3y+x)+2y²(x+y)}exp(-x²-y²)

fxy=2(x+y)(2xy-1)exp(-x²-y²)
計算すると
fxx(±1/2,±1/2)=∓3exp(-1/2)
fyy(±1/2,±1/2)=∓3exp(-1/2)
fxy(±1/2,±1/2)=∓exp(-1/2)
なので、判別式は D(±1/2,±1/2)=9exp(-1)-exp(-1)=8exp(-1)>0

したがって
(x,y)=(1/2,1/2)のとき、fxx<0, D>0 なので、極大
(x,y)=(-1/2,-1/2)のとき、fxx>0, D>0 なので、極小

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/03 10:57