6n³+9n²+n-1=(2n+1)(3n²+3n-1) これはどのような考え方で因数分解しているの

6n³+9n²+n-1=(2n+1)(3n²+3n-1)
これはどのような考え方で因数分解しているのですか？

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/01/28 13:42

質問者の意図は、どうすれば(2n＋1)を因数に持つことに気がつくのか？ということだと思われる。

私が気づいたことをつらつらと。

No.2さんのように気づいて最初から分数を代入できれば時短になるだろうが、めくらめっぽうに入れていっても時間の無駄。まだ整数を入れていく方が簡単かと思われる。その上での話。

f(n)＝6n^3＋9n^2＋n－1 とすると、
f'(n)＝18n^2＋18n＋1
f'(n)＝0とおくと、n＝(－3±√7)／6
f'(n)＝0なる解をf(n)に代入して、f(n)の極大値、極小値を計算して、各々＋7√7／18、－7√7／18とと求まる。
グラフを書くと、点(－1/2、0)について点対称の関係にあることがわかる。実際計算すると、f(－1/2)＝0
以上より、f(n)＝0はn＝－1/2を解に持つので、f(n)は(2n+1)で割り切れる、つまり(2n＋1)を因数に持つことがわかる。

【別の気づき】
原理は同じなのだが、計算するとわかると思うのですが、
f(0)＝－f(－1)＝－1
f(1)＝－f(－2)＝15
この2式より、f(n)はn＝－1/2で対称ではないか？という疑いが出てくることから、(2n＋1)を因数に持つのではないか？と気がつくかもしれない。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/26 23:04

整数係数の多項式が整数係数の範囲で因数分解可能であると「すれば、」

各因子の最高次項の係数の積はもとの多項式の最高次項の係数、
各因子の定数項の積はもとの多項式の定数項になります。
これを特に一次因子にあてはめると、多項式が有理数根を持つ「場合には、」
その根の分母は多項式の最高次項の係数の約数、
分子は多項式の定数項の約数となります。
この事実を使って、6x^3 + 9x^2 + x - 1 の x へ代入して値が 0 になるような
有理数 x がもしあれば、それは x = (1の約数)/(6の約数) という形をしています。
そこで、x = ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6 の代入を試してみると、
x = -1/2 のとき 6x^3 + 9x^2 + x - 1 = 0 となることが見つかります。
よって、因数定理より 6x^3 + 9x^2 + x - 1 は 2x + 1 で割り切れます。
その商は、割り算を実行すれば判って
(6x^3 + 9x^2 + x - 1) = (2x + 1)(3x^2 + 3x - 1) です。
これ以上因数分解できるかどうかは、3x^2 + 3x - 1 の判別式の値を求めれば
判ります。判別式 = 3^2 - 4・3(-1) = 21 が平方数ではないので、
3x^2 + 3x - 1 は整数係数の範囲ではもう因数分解できません。
以上より、結論は (6n^3 + 9n^2 + n - 1) = (2n + 1)(3n^2 + 3n - 1) です。

No.1 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/01/26 22:42

6n³＋9n²＋n-1

=6n³＋3n²＋6n²＋n－1　　9n² を 3n² と 6n² に分けます
=(6n³＋3n²)＋(6n²＋n－1)　　　括弧内を因数分解します
=3n² (2n＋1)+(3n－1)(2n+1)　　　共通因数 (2n＋1) で括ります
=(2n＋1)(3n²＋3n－1)