マクローリン展開を教えてください。

n回微分可能な関数f(x)に対して、
マクローリン定理f(x)=Σⁿ⁻¹/k=₀ f^(k)(0)/(k！ )x^k+Rｎ(x)・・・①式が成立。
f(x)=log(1+x)の場合においても①式を計算すること（Ｒｎ(x)も具体的に求めなさい．

質問者からの補足コメント

• ①式です。

  
    補足日時：2020/05/01 14:53

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/01 21:27

マクローリン展開の各係数は①の式で与えられている

のだから、地道に各項計算すればいいだけです。
それが面倒くさいのなら、log 特有の性質として、
等比級数の和 1/(1+x) = Σ[k=0→∞] (-x)^k を
x で積分して、log(1+x) = Σ[k=0→∞] {-1/(k+1)}(-x)^(k+1)
とすればよいです。そうやって
log(1+x) = Σ[k=0→∞] {(-1)^k/(k+1)} x^(k+1) が得られたら、
log(1+x) = Σ[k=0...n-1] {(-1)^k/(k+1)} x^(k+1) + Rn(x) と比較して
Rn(x) = Σ[k=n→∞] {(-1)^k/(k+1)} x^(k+1) です。

No.1 回答者： タマ時雨 回答日時： 2020/05/01 14:40

①式で指数と微分回数の表記が混在しているので、どう理解しているか謎なのですが

f(x)=f(0)+f'(0)x^1/1!+f''(0)x^2/2!+・・・

で普通にf(x)=log(1+x)を微分してみてはどうでしょう。
微分できたらx=0で各級数が求まります

この回答へのお礼

ありがとうございます。
①式を加えました。

お礼日時：2020/05/01 15:38