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- 回答日時:
これも、背理法でできますよ。
4n-1 の素因数分解を考えます。
各素因数を 4 で割った余りを考えると、
素因数は 2, 4m-1, 4m+1 の形の 3種類に分類されます。
4m-2, 4m+2 (m≠0) は、素因数 2 を持つので、素数ではありません。
4n-1 は奇数です。4n-1 と 2 の最大公約数は 1 なので、
2 は 4n-1 の素因数にはなりません。
よって、4n-1 の素因数は全て 4m-1 か 4m+1 の形をしています。
それが全て 4m+1 のタイプだと仮定すると
4n-1 = (4m₁+1)(4m₂+1)...(4mₓ+1) となるはずですが、
この左辺を 4 で割った余りは -1,
右辺を 4 で割った余りは +1 なので、式は成り立ちません。
よって背理法により(以下同文
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