x^4/(x^3+1) これを積分する問題なのですが、まったくわかりません 解答おしえてください！

x^4/(x^3+1)
これを積分する問題なのですが、まったくわかりません
解答おしえてください！

質問者からの補足コメント

• x^2/(x^6+1)
  これもわかりません、、

    補足日時：2020/05/30 13:59

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/30 14:43

あ、もいっこあったか。

これも同様に、被積分関数を
x^2/(x^6+1) = x^2/{ (x^2+1)(x^2+(√3)x+1)(x^2-(√3)x+1) }
= -(1/3)/(x^2+1) + (1/6)/(x^2+(√3)x+1) + (1/6)/(x^2-(√3)x+1)
= -(1/3)/(1+x^2) + (1/6)・4/{ 1 + 4(x+√3/2)^2 } + (1/6)・4/{ 1 + 4(x-√3/2)^2 }.
と展開整理して、
∫{ x^2/(x^6+1) }dx
= -(1/3)(tan^-1 x) + (2/3)(4/2)(tan^-1 2(x+√3/2)) + (2/3)(4/2)(tan^-1 2(x-√3/2))
= -(1/3)(tan^-1 x) + (1/3)(tan^-1 (2x+√3)) + (1/3)(tan^-1 (2x-√3)).

この回答へのお礼

部分分数分解聞いたことはありますが、よくわかってませんでした、ありがとうごさいます！

お礼日時：2020/05/30 15:15

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/05/30 14:48

x⁴/(x³+1)の不定積分は、(1/2)x²-(1/√3)arctan{(2x-1)/√3}+(1/3)log|x+1|-(1/6)log(x²-x+1)+C

（部分分数分解して計算）

x²/(x⁶+1)の不定積分は、(1/3)arctan(x³)+C
（何の工夫もいらない。そのまま）

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/30 14:29

「部分分数分解」って聞いたことがありますか？

無ければ、google検索でもしてみてください。
積分以外にも数列とか、いろいろなところで使いますから、
知っておいて損はないです。
例えば→ https://mathtrain.jp/bubun

x^4/(x^3+1) = x - x/{ (x+1)(x^2-x+1) }
= x + (1/3)/(x+1) - (1/3)(x + 1)/(x^2-x+1)
= x + (1/3)/(x+1) - (1/6)(2x-1)/(x^2-x+1) - (1/2)/(x^2-x+1).
３行目の (2x-1)/(x^2-x+1) は、
(x^2-x+1)’/(x^2-x+1) になるように (定数)/(x^2-x+1) と分離
したものです。

上記の式を積分して、
∫{ x^4/(x^3+1) }dx
= (1/2)x^2 + (1/3)log|x+1| - (1/6)log|(x^2-x+1)| - (1/2)∫{ 1/(x^2-x+1) }.
最後の項は、被積分関数の分母を平方完成すると
1/(x^2-x+1) = 1/{ (x - 1/2)^2 + 3/4 } = (4/3)/{ (4/3)(x - 1/2)^2 + 1 }
と変形できるので y = (2/√3)(x - 1/2) と置いて、
∫{ 1/(x^2-x+1) }dx = ∫(4/3){ 1/(1 + y^2) }(√3/2)dy
= (4/3)(√3/2)(tan^-1 y) + (定数).

以上より、
∫{ x^4/(x^3+1) }dx
= (1/2)x^2 + (1/3)log|x+1| - (1/6)log|(x^2-x+1)| - (1/√3)(tan^-1 (2/√3)(x-1/2)) + C.
(Cは定数) です。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/05/30 14:14

部分積分を 使うのではないですか。

詳しくは無いので、見当違いだったら ごめん。