大学数学の極限の問題について lim【x→＋0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求める

大学数学の極限の問題について

lim【x→＋0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求めることができますか？途中式も含めて教えていただけると嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/04 20:38

sin のテイラー展開を考えると、

sin x = x - (1/3)x^3 + r,
r/x^4 → 0 (when x→0) である。
これを使って、
1/x - 1/sin x = 1/x - 1/(x - (1/3)x^3 + r)
= { (x - (1/3)x^3 + r) - x }/{ x(x - (1/3)x^3 + r) }
= { - (1/3)x^3 + r }/{ x^2 - (1/3)x^4 + rx }
= { - (1/3)x + (r/x^4)x^2 }/{ 1 - (1/3)x^2 + (r/x^4)x^3 }
→ { - (1/3)0 + (0)0 }/{ 1 - (1/3)0 + (0)0 }
= 0 (when x→0).