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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
円の中心をMとした場合ΔPMOとΔPMBは二等辺三角形です。
ΔPMOの∠PMOの外角は、2∠OPM
ΔPMBの∠PMBの外角は、2∠MPB
OMBは直線なので、2∠OPM+2∠MPB=180°
∠OPM+∠MPB=∠OPB=90°
よって、ΔOPBは直角三角形です。
斜辺OBと底辺OPの比を両辺で挟む角度θでcosθ=OP/OBと定義したので
OP=OBcosθ
r=2acosθ
となりました。
No.2
- 回答日時:
円の極方程式のことですか?
あなたが書いた図(上)をみてPが 半径a,中心A(a,0)の円周の上にあるとき
PがどこにあってもOP=OBcos∠AOP=2OAcos∠AOP…①が成り立ちます(・・・おっしゃる通り)
極座標で動点P(r、θ)と表すと
rとはOPの長さの事だからOP=r,
またθは偏角でOPと始線OXのなす角の事だから∠AOP=θ
同様に OA=aですから
①はr=2acosθ…②と書き換えることができます
ただし、cosθは負の値になることもありますからこのときrは負の値をとります
このようにしてできた極方程式②のθを0から徐々にπまで変化さると
Pの軌跡が円になっているというわけです
例 θ=0のとき r=2a
つまりPの位置は点Bの上
θ=π/4のとき r=√2a
つまり△OBPは直角2等辺三角形をなし BはAの直上の位置(直交座標で (a,a)の位置)
θ=π/2のとき r=0
Bは極Oの上
θ=3π/4のとき r=-√2a
つまりPは偏角θ=3π/4の方向とは真逆に√2aだけ進んで直交座標で(a,-a)の位置に来ます・・・Aの直下
θ=πの時 r=-2aでPは再びBへ戻ってきます
このようにPの軌跡は円を描いています
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