数IIの問題教えてください

座標平面上の２つの円C1、C2はどちらも第一象限に中心をもち、ｘ軸、ｙ軸、および直線３ｘ+４ｙ＝１２に接している。
C1、C2の中心間の距離はいくらか。
答え５√２

解き方をおしえてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/11 22:06

C1（内接円）,C2(外接円)の中心座標を(p,p)(p>0)とおくと

　p=|3p+4p-12|/√(3^2+4^2)

という「円の中心からx軸(y軸)迄の距離=直線迄の距離」という方程式が成り立つ。
これを解けば
　p^2=(7p-12)^2/25
　25p^2=49p^21-168p+144
　24p^2-168p+144=0
　p^2-7p+6=0
　(p-1)(p-6)=0
　∴p=1, 6
C1の方程式：(x-1)^2+(y-1)^2=1
C2の方程式：(x-6)^2+(y-6)^2=36

∴中心間の距離=√((6-1)^2+(6-1)^2)=5√2

この回答へのお礼

図まで添付していただき、ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/12 15:53

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/11 22:27

#4です。

A#4の図を描いたので添付しますのでA#4の説明図として参考にして下さい。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2012/02/11 21:19

原点をO、直線3x+4y=12とx軸,y軸との交点をA,Bとすると、

円C1,C2は、三角形OABの内接円と傍接円です。

三角形OABの３辺の長さをa,b,c、面積をSとすれば、
内接円の半径r1は、r1=2S/(a+b+c)
aの辺に対する傍接円の半径r2は、r2=2S/(b+c-a)

円の中心はy=x上にあるから、中心の座標は(r1,r1)と(r2,r2)であり、
その距離は、√((r2-r1)^2+(r2-r1)^2)=(r2-r1)√2

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/12 15:54

No.2 回答者： 151A48 回答日時： 2012/02/11 21:19

いずれの円もｘ軸，ｙ軸に接するので中心の座標は（ａ，ａ）　と置けます。

３ｘ＋４ｙ＝１２に接するとは中心からこの直線への距離がａ（＞０）ということなので
｜３ａ＋４ａ－１２｜／５　＝ａ　（点と直線との距離の公式）
絶対値の中は正負２通りが考えられるので，±（３ａ＋４ａ－１２）＝５ａ　それぞれ方程式を解けば２つの円の中心が分かります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/12 15:55

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/02/11 20:39

いずれもｘ軸およびｙ軸に接することから、二つの円の中心はいずれも直線ｙ＝ｘ上にあります。

そこでＣ１、Ｃ２の中心をそれぞれ（ａ，ａ）、（ｂ、ｂ）とし、これらの点から直線３ｘ＋４ｙ＝１２までの距離がそれぞれａおよびｂである（３ｘ＋４ｙ＝１２に接することから）とおけば中心の座標が出るのではないでしょうか？

この回答へのお礼

解き方の方針を教えていただき、ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/12 15:56