四角形の面積を２等分する直線の式の求め方

点Bを通り、四角形ABCOの面積を２等分する直線の式は
どういう風に求めたらいいですか？

No.8 回答者： kenty0112 回答日時： 2014/03/26 01:13

あくまでひとつの解答例として参考にしてください。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

四角形ABCOの面積Sは
S=(1+3)*2*1/2+3*3*1/2=17/2
(点Bから垂線を下ろし左側の台形と右側の三角形に分けました)


求める直線をdとし直線dのx切片を(dx,0)とすると
(5-dx)*3*1/2=17/4←点A、点B、点(dx,0)によって作られる三角形の面積
∴dx=13/6

2点(2,3),(13/6,0)を通る直線の式を求めればよいので(y=ax+bに代入)
3=2a+b
0=13/6a+b
∴a=-18,b=39

よって求める直線の式は
y=-18x+39

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

自分が中学生のころはこんな感じで解いていたと思います。

四角形ABCOが何やら見慣れない形をしているので
式を求めるべき直線に二等分された右側の三角形を利用して解く
という手法を取りました。
1次関数(直線)は通る2点の座標が分かれば式が出せるので
通る2点の座標を求める→y=ax+bに当てはめて連立方程式を解く
という手順で解いていけば大丈夫です。

あとは数多く問題を解いて慣れていくことです。
慣れれば「あ、この問題は～」というように解けるようになります。
頑張ってください！

No.7 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/02/28 13:04

>点Bを通り、四角形ABCOの面積を２等分する直線の式は　どういう風に求めたらいいですか？

四角形 ABCO の左端から第 3 象限にはみ出した小三角形をつなぐと、軸 B-2 にて対称な三角形ですネ。

ならば、軸 B-2 の下端 2 を右方へずらして、はみ出し三角形の面積 1/2 の半分 (1/4) だけ、四辺形 BCO2 の面積を増やせばよさそう。
対称三角形の高さは |B-2| = 3 らしいので、下端 2 のずらし寸法 d は (1/4) = 3*d/2 から得られるだろう。
d = 1/6 かな？

あとは、B (3, 3) と ずらし点 (2+d, 0) を通る直線の作式。
これぐらいは、そちらへお任せ。

　　

No.6 回答者： k-glad 回答日時： 2014/02/28 10:45

中２生だと…

『三角形の頂点を通り底辺に並行な直線上にある、他の頂点でできる三角形は面積が一定』という考え方を使った解答方法もあります(^-^)b

(1)直線BOを引く
(2)直線BOに並行で、点Cを通る直線を引く
(3)(2)で引いた直線とx軸との交点Dの座標を求める
(4)四角形ABCOの面積=三角形ABD が言える
(5)点Bを通り、三角形ABDの面積を二等分する直線の式を求める…このとき『2点間の中心の座標を求める』考え方を使います。

この問題は、"一次関数と面積"というテーマの応用問題の定番(公立高校入試レベル)になりますね！

あっ、私は前、塾で数学を教えてました。どちらかというと、上の(1)～(5)の考え方で解答することを求められることが多いみたいです。

No.5 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2014/02/28 10:42

いろんな解き方がありますが・・・

四角形ＡＢＣＯの面積は計算できるわけで、
求める直線のｘ軸との交点をＰとして、
△ＡＢＰ＝１／２（四角形ＡＢＣＯ）
とすればいいわけです。
△ＡＢＰ＝１／２（ＰＡ×３）
ですから、ＰＡは求められます。
そうすればＰが決まるので、あとはＢとＰを通る直線を求めれば終了です。

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/28 07:16

No.2 です

今回は D と E が一致せず、傾きを求められましたが、

D と E が一致し、y軸に平行な直線となった場合は

y ＝ ax ＋ b の形で表せず、x ＝ a とかになっちゃいます

でも、仮に平行になったとしても、点 E の座標を求める所までの道筋は同じです

No.3 回答者： ma310ma10 回答日時： 2014/02/28 00:08

正しいかどうかはわかりませんが

回答NO2さんが簡潔に台形＋三角形で
四角形の面積を表しているので、
私は三角形－三角形の別の回答を。


直線エルはy=x＋1ですよね？

ということは点C（0,1）
直線エルとx軸の交点をDとすると点D（－1,0）

△BDA＝{5－（－1）}×3×1/2＝9
□ABCO＝9-△CDO＝9-1/2＝17/2

□ABCOは面積が17/2
それを二等分ということは面積が17/4
点Bを通り二等分にする直線とx軸との交点を点Eとする。

△BEAの面積が17/4になればいい。
点Eのｘ座標をeとし、点Bのy座標＝高さは3なので
△BEA＝3×(Aのｘ座標-Eのｘ座標）×1/2＝17/4
3×（5-e）×1/2＝17/4
15-3e＝17/2
3e＝13/2
e＝13/6

点E（13/6,0）

点Bと点Eの2点を通る直線を求めればいい。


※
点Bを通り、□ABCOを二等分するには
線分OAの間に通り、点Bを通るような直線が必要
また、△BDAを二等分するのが
点Bからx軸に垂直におろした線だとすれば、
□ABCOを二等分するにはそれよりも
点Aに近い方を直線は通る。
よってx軸上でxの値が2以上5以下の間の点を通る
直線だとおおよその見当がつく。

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/27 23:58

図を見て、点 A は（5,0）とわかります

点 B の x 座標は 2 ははっきりしており、手書きで （2,3）と書かれており、
BC を結ぶ直線の方程式 y ＝ x + 1 とも一致し、（2,3）と考えます
点 C も x 座標は 0 ですが、y ＝ x + 1 から、（0,1）と考えます

B から x軸に垂線をおろし、x軸との交点を D とすると、
三角形 ABD の面積は 3（5 -2）/2＝ 9/2
台形 BCOD の面積は （1 + 3）・ 2 / 2 ＝ 4
四角形 ABCO の面積は上記を合わせた面積なので 17/2

四角形 ABCO の面積を二等分する直線と x軸との交点を E とし、
その座標を （e, 0）とおくと、

三角形 ABE の面積は 3 （5 - e）/2 ＝ 17/4
これを解いて e ＝ 13/6

求める直線は B（2, 3）、E（13/6, 0 ）を通る直線です
その傾きは (0 - 3) / （13/6 - 2）＝ -18
B を通るので、
y ＝ －18（x - 2）+ 3
y ＝ －18x + 39

【答え】　y ＝ －18x + 39

No.1 回答者： k-glad 回答日時： 2014/02/27 23:24

こんにちは

携帯電話からなので、解答例をつけられませんこと、ご容赦ください。

他の方がご回答くださる際に、疑問を持つであろう事柄ですが…

この問題は積分を使ってもいいものですか？
それとも、一次関数＆図形的に処理した解答のどちらをご希望されていらっしゃるのでしょうか？

この回答への補足

まだ中２なのでわかりやすく、一次関数＆図形的に処理した解答が欲しいです。
質問ありがとうございます。

補足日時：2014/02/27 23:34