AB=ACである二等辺三角形ABCを考える。辺ABの中点ををMとし、辺ABを延長した直線上に点Nを、AN:NB=2:1となるようにする。このとき、角BCM=角BCNとなることを示せ。ただし、点Nは辺AB上にないものとする。(京大文系数学2008)
座標による解法を試みたので、ミスがないか、見てください。
Cを原点にとる。
Bの座標を(-b,0),Aのy座標をaとする。
題意より、A(-b/2,a),B(-b,0),M(-3b/4,a/2),N(-3b/2,-2a)とわかる。
よって、直線MCの傾きは-2a/3bとなり、これをtanXとおく。(Xは正の部分のx軸から直線MCまでの角度とした)また直線NCの傾きは2a/3bとなり、これをtanYとおく。(Yは正の部分のx軸から直線NCまでの角度とした)
角BCM=tan(180-X)=-tanX=2a/3b,角BCN=tan(Y-180)=tanY=2a/3b
証明終わり
題意より、の部分は与えられた比を使って図を書けば、分かるのですが、説明不足ではないかと心配です。
あと、ベクトルによる解法もあるらしいのですが、思いつきません。
それも教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
座標を使うなら、一般性を失わない限りで具体的な数値を使うと良い。
B(0、0)、C(2、0)、A(1、α)と置ける。但し、α>0.
直線ABの方程式はy=αx。N(β、αβ)(β<0)とすると、AN=2NBから、(単純に、点と点の距離の公式から)β=-1、or、1/3。
β<0より、N(-1、-α)であるから、M(1/2、α/2)である事により、tan∠BCM=-(α/3)、tan∠BCN=α/3.
以上より、題意の通り証明された。
No.1
- 回答日時:
まあ、方向性としては合ってますね。
ただ、∠BCM=tan(180-X)……の部分はおかしな表現になっています。
∠BCM=180°-Xとなるべきではありませんか?
同様にACの延長線上に点KをAK:KC=2:1となるようにとると
線分MCと線分BKについて、
△BCNと△CBKについて、
それぞれ示すとそんなに難しくなく出てくるはず。
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