数Bの階差数列についててす。 チ=6 ツ=7 テ=13になるのですがなぜこの答えになるか教えて欲しい

数Bの階差数列についててす。
チ=6 ツ=7 テ=13になるのですがなぜこの答えになるか教えて欲しいです。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/02 14:04

シ=13-3=10

ス=21-13=8
セ=27-21=6
ソ=31-27=4
タ= -2
b n=10-2 (n-1)=12-2n ∴b n-1=12-2(n-1)=14-2n
a1=3
a2=3+b1=3+12-2n=15-2n
a3=3+b1+b2=3+12-2*1+12-2*2=27-6=21
a4=3+b1+b2+b3=3+12-2*1+12-2*2+12-2*3=
an=3+Σ【k;1→n-1】b k=3+Σ【k;1→n-1】(12-2 k)=3+12(n-1)-2(n-1)n/2
=3-12+12n-n(n-1)=13n-n^2 -9
a n+1=13(n+1)-(n+1)^2 -9=4+13n-(n^2 +2n +1)=3+11n-n^2
よって　
a n=a n+1 になるのは
13n-n^2 -9=3+11n-n^2
∴13n -9=3+11n
∴2n=9+3=12
チ=6

初めて　a n>a n+1 即ち
13n -9>3+11n
∴2n>9+3=12 よって
ツ=6+1=7

初めて　a n<0 になるのは
13n-n^2 -9<0
n(13-n)<9 ∴n=13
よって　テ=13

一般項が求めれば簡単　テは解の公式など不要で順番に数字を入れていけば
或いは　このグラフを作図すれば簡単に求まるよ！

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/01 21:00

シ～ソ：10, 8, 6, 4

タ：-2

b(n) = 10 - 2(n-1)
なので
b(n) = a(n+1) - a(n) = 0 になるのは
　10 - 2(n - 1) = 0
→　n - 1 = 5
→　n = 6
よって
チ：6

このとき
　b(6) = a(7) - a(6) = 0
なので、初めて a(n) > a(n+1) になるのは
　b(7) = a(8) - a(7) = -2
のとき。
つまり
ツ：7

b(n) = a(n+1) - a(n) = 10 - 2(n - 1)
より
b(n-1) = a(n) - a(n-1) = 10 - 2(n - 2)
　・・・
b(1) = a(2) - a(1) = 10

これらの b(1) ～ b(n-1) を足し合わせれば、a の途中項は相殺して消えて
　a(n) - a(1) = 10(n - 1) - Σ[k=0～n-2]{2k}
　　　　　　= 10n - 10 - (n-2)(n-1)
　　　　　　= 10n - 10 - n^2 + 3n - 2
　　　　　　= -n^2 + 13n - 12
a(1) = 3 なので
　a(n) = -n^2 + 13n - 9
これが
　a(n) < 0
になるのは
　-n^2 + 13n - 9 < 0
→　n^2 - 13n + 9 > 0　　　　①

n^2 - 13n + 9 = 0 となるのは、二次法定期の解の公式を使って
　n = [13 ± √(169 - 36)]/2
　　= [13 ± √133]/2

従って、①は
　(n - [13 - √133]/2)(n - [13 + √133]/2) > 0
n ≧ 1 でこれを満たすのは
　n > [13 + √133]/2 = 12.266･･･
n は整数なので
　n ≧ 13
よって
テ：13

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！
理解できました！

お礼日時：2024/07/01 22:05

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/01 20:54

「階差数列」の意味は習いましたね。

チ=6 ツ=7 テ=13になるのは、シ ス セ ソ タ が分からないと ダメですね。
それは どう考えたのですか。

実際には 3, 13, 21, 27, 31, ・・・ と モット続けていけば、
難しい計算無しで、自然に 答えが出てくるでしょ。
3, 13, 21, 27, 31, 33, 33, 31, 27, 21, 13, 3, -9, -23, は 分かりますか。
（ココは 無料で 答えを教えてもらう サイトではないですよ。）

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/01 20:34

数列{a(n)}:3,13,21,27,31,…について,階差数列を{b(n)}とすると,

b(n)=a(n+1)-a(n)
{b(n)}:
b(1)=a(2)-a(1)=13-3=10
b(2)=a(3)-a(2)=21-13=8
b(3)=a(4)-a(3)=27-21=6
b(4)=a(5)-a(4)=31-27=4,
…となり,これは初項10,交差-2の等差数列であるから

b(n)=12-2n

b(k)=a(k+1)-a(k)=b(k)

Σ{k=1～n}b(k)
=Σ{k=1～n}{a(k+1)-a(k)}
=Σ{k=1～n}a(k+1)-Σ{k=1～n}a(k)
=Σ{k=2～n+1}a(k)-Σ{k=1～n}a(k)
=a(n+1)-a(1)

a(n+1)-a(1)
=Σ{k=1～n}b(k)
=Σ{k=1～n}(12-2k)
=12n-2Σ{k=1～n}k
=12n-n(n+1)
=12n-n^2-n
=11n-n^2

a(n+1)
=a(1)+11n-n^2
=3+11n-n^2

a(n)
=3+11(n-1)-(n-1)^2
=3+11n-11-n^2+2n-1
=-n^2+13n-9

よって,数列{a(n)}が
a(n)=a(n+1)になるのは
a(n+1)-a(n)=0 のとき
↓b(n)=a(n+1)-a(n)だから
b(n)=0
↓b(n)=12-2nだから
12-2n=0
↓両辺に2nを加えると
12=2n
↓両辺を2で割ると
6=n
n=6のときであり,
はじめて
a(n)>a(n+1)になるのは
(
a(n+1)-a(n)<0 のとき
↓b(n)=a(n+1)-a(n)だから
b(n)<0
↓b(n)=12-2nだから
12-2n<0
↓両辺に2nを加えると
12<2n
↓両辺を2で割ると
6<n
↓nは整数だから
7≦n
だから
}
n=7のときである
またはじめてa(n)<0になるのは

↓a(n)=-n^2+13n-9だから
-n^2+13n-9<0
0<n^2-13n+9
0<(n-13/2)^2-133/4
{n-(13+√133)/2}{n-(13-√133)/2}>0
↓n≧1>(13-√133)/2だから
n>(13+√133)/2
11<√133<12
24<13+√133<25
12<(13+√133)/2<13だから

n=13のときである

この回答へのお礼

すごく丁寧に教えていただきありがとうございます！理解できました！

お礼日時：2024/07/01 22:08