数学の問題

数学の問題
原点O(0,0)を中心とする半径1の円に、円外の点P(x0,y0)から2本の接線を引く。
（１）2つの接点の中点をQとするとき、点Qの座標(x1,y1)を点Pの座標(x0,y0)を用いて表せ。
また、OP*OQ=1であることを示せ。
という問題です。
接点をA,Bとすると、AとBを結んだ線分は点Pの極線だから、その方程式は
x0x + y0y = 1
というのは分かります。
PA=PB だから三角形PABは二等辺三角形
よって、点Pから点Qに線を引くと、それらは垂直に交わる。
つまり、PQの方程式を求め、それとx0x + y0y = 1 との交点が点Qの座標です。
なので、PQを求めたいわけなんですが
求め方が分かりません。
y0x + x0y = 0
がPQなんですが、どうやって求めるのでしょうか?

また、その座標を求めたとして、次に「OP*OQ=1であることを示せ」ですが
解説では
OQ^2 = x^2 + y^2 =1/OP^2
よって、OP*OQ = 1
とあるんですが、なぜこのような考え方なのかが分かりません。
どのような考え方なんでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/07/30 06:19

＞図を描くと、なんとなく通りそうですが、なぜなのかがわかりません。

証明はそんなに難しくはなく、
三角形AOQと三角形BOQが合同であることから、OQもABと直交します。
PQ,OQともABと直交するなら、P,Q,Oは一直線上にあることになります。


OP*OQ = 1　の意味は、
三角形OPAと三角形OAQとは相似であることから、
OP：OA＝OA：OQ
つまり、
OP*OQ＝OA^2＝1


質問の問題は、それを座標計算で確認しましょうということです。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/04 23:36

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/07/30 11:44

いつもの事だが、書き込みミス。

。。。。。ｗ

(誤)　P(α、β)だから、直線ＡＢの方程式が　α*x＋β+y＝1　‥‥(1)

(正)　P(α、β)だから、直線ＡＢの方程式が　α*x＋β*y＝1　‥‥(1)　　

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/07/30 11:42

極と極線、それに、反転を引っ掛けた問題なんだが、道具立てがぎょうぎょうしい割には単純な問題。

P(α、β)だから、直線ＡＢの方程式が　α*x＋β+y＝1　‥‥(1)　であることがわかれば簡単。
PA=PB だから三角形PABは二等辺三角形だから、∠ＰＱＡ＝∠ＰＱＢより、ＰＱの傾きは　β/αだから、直線ＰＱは　y＝(β/α)*(x-α)＋β　→　αy＝βx　‥‥(2)
(1)と(2)の交点がＱ(x1、y1)だから、x1＝α/(α＾2＋β＾2)、y1＝β/(α＾2＋β＾2)。

x1＾2＋y1＾2＝1/(α＾2＋β＾2)‥‥(3)　だから、OP*OQ=1。

(注)
(3)の計算は、常套手段。反転の知識と共に憶えて置いたらよい。最近の大学入試では、頻出問題。
反転を詳しく知りたいなら、“反転変換”で検索すると良い。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/07/29 23:57

＞y0x + x0y = 0　がPQなんですが、

違います。
PQを延長すると原点Oを通るから、
y0x - x0y = 0
です。

Qの座標(x,y)が出たら、
OQ^2 = x^2 + y^2
を計算すれば、
x^2 + y^2 = 1/(x0^2 + y0^2)
となります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
式の形がy0x + x0y = 0　だったんで、原点を通るのかと思っていたのですが
なぜ通るのかが分かりません。
図を描くと、なんとなく通りそうですが、なぜなのかがわかりません。

また、OQ^2 = x^2 + y^2
を計算すれば、
x^2 + y^2 = 1/(x0^2 + y0^2)
となり、OQ^2=1/OP^2
が成り立つのは分かりましたが、こう計算するに至るまでの考え方はないのでしょうか?

たしかに結果だけを言えばこの計算で示されますが、なぜこの計算をしようという方針に至ったのかが分かりません。

補足日時：2011/07/30 00:42