位相空間論 Xを位相空間とする。~をその上の同値関係とする。 π: X→X/~を射影とする。X/~に

位相空間論
Xを位相空間とする。~をその上の同値関係とする。
π: X→X/~を射影とする。X/~には商位相が入ってる。この時、X/~がT_1空間とし、
任意のx∈Xに対して、π^(-1)(π(x))⊂Xが閉集合であることを詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/10 20:07

Xを位相空間とする

～をその上の同値関係とする
π: X→X/～を射影とする
X/～には商位相が入ってる
X/～はT_1空間とする

任意のx∈Xに対して、
π(x)≠y∈X/～
とすると
X/～はT_1空間だから
π(x)を含まない、yの開近傍V(y)がある
y∈V(y),π(x)∈(X/～)-V(y)

G=∪_{π(x)≠y∈X/～}V(y)=(X/～)-{π(x)}
とすると
G=∪_{π(x)≠y∈X/～}V(y)=(X/～)-{π(x)}
はX/～の開集合

π^(-1)(G)=X-π^(-1)(π(x))
がXの開集合の時に
GをX/～の開集合とするという商位相の定義から
GがX/～の開集合なのだから
π^(-1)(G)=X-π^(-1)(π(x))
はXの開集合だから

π^(-1)(π(x))⊂Xが閉集合