❰至急❱ LTIシステム（フィルタ）のインパルス応答h(nT)と入力x(nT)が分かっている。畳み込

❰至急❱
LTIシステム（フィルタ）のインパルス応答h(nT)と入力x(nT)が分かっている。畳み込みを用いて出力y(nT)を求めよ。

h(nT)=b^-n , n≧0 、0 , n＜0
x(nT)=a^n , 0≦n≦10、0 , otherwise
但し、a≠0 , b≠0 , ab≠1

答えは、
y(nT)=0 , n＜0、b^n٠1-(ab)^n+1/1-ab , 0≦n≦10、b^-n٠1-(ab)^11/1-ab , n＞10

途中式を教えてください！

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/17 10:09

0≦n≦10のとき

y(nT) = (a^0)/(b^n) + (a^1)/(b^(n-1)) + … + (a^n)/(b^0)
= (1/(b^n)) ((ab)^0 + (ab)^1 + … + (ab)^n)

10＜nのとき
y(nT) = (a^0)/(b^n) + (a^1)/(b^11)+… + (a^10)/(b^(n-10))
= (1/(b^n)) ((ab)^0 + (ab)^1 + … + (ab)^10)
このときには ((ab)^0 + (ab)^1 + … + (ab)^10)の部分はnに依らない定数になるわけです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/11 11:47

時刻kTに入力された信号x(kT)は、時刻nT(n≧k)において出力y(nT)にどれだけ寄与するかというとh((n-k)T)である。

だから、
　　y(nT) = Σx(kT)h((n-k)T)
　　　　= … + x(-T)h((n+1)T) + x(0)h(nT) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(nT)h(0) + x((n+1)T)h(-T) + …
ってことです。これが畳み込み。
　すると、xやhが0になるような項が多く、つまりそれらの項が0になるんで、0にならないやつだけ残した式をまず書いてみる。すると n<0でh(nT)=x(nT)=0なので
　　y(nT) = x(0)h(nT) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(nT)h(0)
それから n＞10でx(nT)=0だから
　　y(nT) = x(0)h(nT) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(10T)h((n-10)T)
　次に、nの範囲によっては0になる項、ってのをチェックする。すると
　　n=-2のときはy(nT)=0
　　n=-1のときはy(nT)=0
　　n=0のときはy(nT) = x(0)h(0)
　　n=1のときはy(nT)= x(0)h(T)+x(T)h(0)
　　n=2のときはy(nT)= x(0)h(2T)+x(T)h(T)+x(2T)h(0)
　　　：
　　n=10のときはy(nT)= x(0)h(10T) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(10T)h(0)
　　n=11のときはy(nT)= x(0)h(11T) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(10T)h(1)
　　n=12のときはy(nT)= x(0)h(12T) + x(T)h((n-1)T)+…+ x(10T)h(2)
　　　：
となる。だから、n＜0, 0≦n≦r≦10, 11≦nの場合に分けて考えればいいだろう、とわかる（慣れれば瞬殺でわかるようになる）。
さて、それぞれの場合について計算するわけだが、たまたまこの問題の場合には等比級数の計算を行うことになる。お書きの「答え」はカッコを正しく付ければ合ってるっぽい。

この回答へのお礼

(ab)^n・1-(ab)^n+1/1-abになってしまうんですけど途中式教えてください！
あとはこれを計算すればいいってとこまで教えてください！

お礼日時：2020/07/16 03:17