x>0で、f(x)=e^-1/xのとき、全てのnに対して lim(x→+0)f(n)f(x)/x^m

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質問者：ららひ
質問日時：2020/07/14 16:11
回答数：2件

x>0で、f(x)=e^-1/xのとき、全てのnに対して
lim(x→+0)f(n)f(x)/x^m=0
を数学的帰納法で示せという問題がわかりません。どなたかよろしくお願いします。
f(n)(x)はf(x)のn回微分、mは任意定数です！

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回答 (2件)

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No.1

回答者： endlessriver
回答日時：2020/07/14 17:20

まともな質問者とは思えないが

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11764850.html

f(n)f(x) → f⁽ⁿ⁾(x) ですねン・・・？

1.
まず、P(x)をxの多項式とすると
f⁽ⁿ⁾(x)=P(1/x)e^(1/x) を証明する。Pはある形を持つものではなく多項式一般を表す。
n=1のとき、
f(1)={f(x)}'=e^(1/x){1/x²}で成立

nのとき命題の成立を仮定すると
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)={f⁽ⁿ⁾(x)}'={P(1/x)e^(-1/x)}'=P'(1/x)(1/x²)e^(-1/x)+e^(-1/x)(1/x²)
={P'(1/x)(1/x²)+(1/x²)}e^(-1/x)

P'(1/x)は１/xの多項式だから、{P'(1/x)(1/x²)+(1/x²)}も1/xの多項式となり、帰納法により
命題が証明された。

2.
u=1/x とおくと 1/x^m=u^mだから
f⁽ⁿ⁾(x)/x^m=u^mP(u)e^(-u)=u^mP(u)/e^(u)≦P(u)/e^(u)
となる。
ここで、m≦k となる最小の正の整数kをとると、u≧1のとき
u^mP(u)≦u^kP(u)≦P(u) (Pは一般の多項式)
となることを使った。

ここで、g(u)=P(u)/e^(u)とおく。
x → +0のとき、u → ∞だから、p(u) → ±∞、e^(u) → ∞でロピタルを使って

lim g'(u)=lim P'(u)/e^u=・・・=lim P⁽ⁿ⁺¹⁾(u)/e^u
となるが、Pの最高次数をnとすれば、P⁽ⁿ⁺¹⁾(u)=0 となり、上の右辺は0となる。
ゆえに
lim f⁽ⁿ⁾(x)/x^m=0
が証明された。

しかし、自作自演者（グループ？）、トンデモ、礼儀知らずしかいないのかねぇー。