大学1年の数学です。条件x^2-y^2=1の下での関数f(x,y)=x^3-2y^3の極値候補の点を

大学1年の数学です。条件x^2-y^2=1の下での関数f(x,y)=x^3-2y^3の極値候補の点を求めよ。という問題なのですが、自分で解いてみたら虚数が出てきてよく分からなくなってしまったので教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 11:45

x, y が実変数なら、虚数解は無視して実数解だけ使こたらえんちゃうの。

f(x) = x^4/4 + x^3/3 + x^2/2 + x の増減表書くとき、 x = ±i をどう扱う？

ラグランジュ法は、たいてい計算がめんどになるんで、
制約条件がパラメータ化できる場合はそのほうが楽。
x^2 - y^2 = 1 を x = coshθ, y = sinhθ と書けば、
f(x,y) = x^3 - 2y^3 = (coshθ)^3 - 2(sinhθ)^3,
df(x,y)/dθ = 3(coshθ)^2・(sinhθ) - 2・3(sinhθ)^2・(coshθ) = 3(coshθ)(sinhθ){ coshθ - 2sinhθ }.

∀θ, coshθ > 0,
sinhθ > 0 ⇔ θ > 0,
coshθ - 2sinhθ ⇔ { e^x + e^(-x) }/2 - 2{ e^x - e^(-x) }/2 > 0
⇔ (e^x)^2 < 3 ⇔ x < (1/2)log3.
より、増減表は
θ　　　　　　　 0　　　　　　　(1/2)log3
f’　　　+　　　　0　　　　-　　　　0　　　　+
f　　　　　　　　極大　　　　　　　極小

極大点は (x, y) = (cosh0, sinh0) = (1, 0),
極小点は (x, y) = (cosh((1/2)log3), sinh((1/2)log3)) = (2/√3, 1/√3).

それに、また今回も「候補の点」とか言うてるし。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/05 21:05

それはほぼ当然ですから、それでどうやって、虚数になったんですか。

この回答へのお礼

連立方程式を解いている過程で出てしまいました。現在オンライン授業で先生が参考書を自分で読んで問題を解けと言う方式をとっているため、まったく理解が追いついていません。そのため、解き方を詳しく教えていただけますと幸いです。

お礼日時：2020/08/05 21:10

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/05 20:46

どうやったんですか？

この回答へのお礼

Lagrangeの乗数法を利用して解きました。

お礼日時：2020/08/05 20:48