(数学的帰納法) (2)の帰納法の[2]のn=k+1のとき、漸化式からa_k+1=…のところで、漸化

(数学的帰納法)
(2)の帰納法の[2]のn=k+1のとき、漸化式からa_k+1=…のところで、漸化式にn=kを代入してるのがなぜか分かりません。確かに示したいものはa_k+1=(k+1)+2で漸化式のnにk+1を代入したとしたらa_k+2という形になってしまって、しかも仮定も使うことができない、というのは分かるのですが漸化式ででてくるnと帰納法ででてくるnは同じものなのにn=k+1のときにn=kを代入しているというのが納得できないです。。。

質問者からの補足コメント

• お願いします！

  
    補足日時：2020/08/05 23:43

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 12:29

変数を「動かす」「止める」という考えを理解したらいいと思います。

問題に多くの文字が登場するとき、どれが変数でどれが定数と
一律に決めてしまうのではなく、今はどれを動かしてどれを止めて
考えているかを意識するようにするのです。

質問の状況では、漸化式の n を変数、[2] の k を定数として扱っています。
漸化式は n = 1,2,3,... の全てで成り立っているので、変数として扱い得るのです。
k が変数ではなく定数であることを理解するのが帰納法のキモではないかと思います。
[1] で 1 枚目のドミノを倒したあと、[2] を k=1, k=2, k=3, ... と連鎖してゆくのが
帰納法のキモチではありますが、それは帰納法の内部の問題。
[2] を証明して後を帰納法にまかせるこちらの立場としては、k は定数なのです。

No.3 回答者： kmee 回答日時： 2020/08/06 08:48

a_n の n は関数f(x) の x みたいなものです。

n=k+1 のとき、 a_(n-1) = a_k です。
この a_(n-1) を求めているのを 「 a_k ならば n=k 」 と思い違いでしているのでは。


同じのを書くのが面倒なので
f(a_n):漸化式 a_n からa_n+1を求める
とします。すなわち
a_n = f(a_(n-1))
ここで、
g(n): n項の一般項
とします。

n=kは「成り立つと仮定」したので、とりあえず「a_k=g(k)は正しい(他のn=mでは a_m=g(m)かどうかわからない)」と考えます。

このとき、 n=k+1でも成り立つか、つまり a_k+1 = g(k+1)になっているか、を調べたいのですが、
この時点では成り立つ証拠がありません。
ですから、 g(k+1) を使うことはできません。

ですが 漸化式 は正しいことわかっています(というか、正しいと決めています)
ですから、 a_((k+1) -1) を使って a_(k+1) を求めることはできます
a_(k+1) = f(a_((k+1)-1))
これは
a_(k+1) = f(a_k)
です。
ここで、仮定より a_k=g(k) はわかっています。よって
a_(k+1) = f(g(k))
です。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/06 07:44

一般的に漸化式で使用される文字はｎですが、別の文字でも問題はありません。

この問題を解くにあたって分かりづらいようでしたら、文字を換えて考えてみて下さい。
a_m+1={(a_m)²－1}/(m+1) (m=1,2,3,……)

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2020/08/06 00:59

数学的帰納法とは、

① n=1に成り立つことを証明。（ドミノで言えば、一番最初の「1枚目はちゃんと倒れるよ！」ということ）
② 「n=kのときに成り立つ」と”仮定“すると、
「（その次の）n=k+1のときに成り立つ」
（ドミノで言えば、「k番目のドミノが“倒れてくれれば”、（その次の）k+1番目のドミノはちゃんと倒れます」ということ。これから証明しようとすることを『成り立つと”仮定“』してることに注意！）
…この2つを論じて証明（→「ドミノは端からうまく倒れていきます」）します。

「漸化式にn=kの式を代入」しているのは、
この「成り立つと“仮定”」している部分（=これから証明したい部分）を証明に利用しているのです。なんか騙された気分になりますよね。(￣◇￣;)