X2乗分布の自由度について

どうしても分からないので、教えていただけると助かります。

正規分布N（μ、σ2）に従う母集団から無作為抽出した標本（X1、X2、・・・、Xn）について、

Σ｛（Xi－Xm）/σ}2　（iは1～n、XmはX1～Xnの平均）

が自由度n-1のX2乗分布に従うという話の説明で、

（X1－Xm）/σ＋（X2－Xm）/σ＋（X3－Xm）/σ＋・・・＋（Xn－Xm）/σ＝０

が成り立つため、（Xi－Xm）/σは自由度が一つ減る、といったものを見かけます。

ただ、この式自体、変形すると、X1＋X２＋・・・＋Xn＝ｎ×Xmという自明のものであり、X1からX（n-1）までの値によってXnの値が規制されるわけでもないので、なぜ自由度が減るのか理解できません。

Xnのとる値によってXmも自動的に求まり、X1＋X２＋・・・＋Xn＝ｎ×Xmは当然成立しますので、Xnのとる値が制限される（自由度が減る）わけではないと思うのですが・・・

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。参考 URLも拝見しました。XmはX1からXnまでの平均なので、そもそもXnが定まらないと平均は求まらないので、自動的にXnが求められるというのはやはり理解できません。。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/13 12:59

No.4 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/13 13:27

自由度の定義は

https://best-biostatistics.com/contingency/degre …
をご覧下さい。
ｎ個のデータがあった時、平均値が与えられた元で自由にデータを決める事が出来る数はｎ－１個である
と言うのが、ｔ検定における自由度の定義と解説されています。
ｎを非常に大きく取る場合分布は正規分布に近ずくので、平均値は与えられている、と考えていいのではないですか。

この回答へのお礼

なるほど！本来はXnが決まって初めて平均値（Xn）が決まるものなのに、平均値があらかじめ与えられたうえでXnを決めるのでn-1という理解ですね。
とても参考になるサイトを教えていただき、ありがとうございます。感謝です！

お礼日時：2020/08/13 14:42

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/13 13:24

＞（X1－Xm）/σ＋（X2－Xm）/σ＋（X3－Xm）/σ＋・・・＋（Xn－Xm）/σ＝０　　　　　①

であれば、例えば

　(Xn - Xm)/σ = -[ (X1 - Xm)/σ + (X2 - Xm)/σ + (X3 - Xm)/σ + ･･･ + (X(n-1) - Xm)/σ ]

なので、X1 ～ X(n-1) の (n-1)個のデータが決まれば Xn は自動的に値が決まってしまうので、実際に自由に値が変化できるパラメータは「(n-1) 個しかない」ことになります。つまり [X1, X2, X3, ･･･, Xn] のデータの分布といっても、実際には [X1, X2, X3, ･･･, X(n-1)] のデータでその分布が決まってしまいます。

つまり、n 個のパラメータのうち、実際に自由に変化できるのは (n-1) 個ということになります。それが「自由度」です。
それを説明するために①式を持ち出しているのでしょう。

でも、それが何で「カイ二乗分布の自由度なの？」というのが質問者さんの疑問でしょうか？


＞Xnのとる値によってXmも自動的に求まり

とありますが、それが問題なのです。
本当に計算したいのは、母集団の平均 μ との偏差なのですが、母平均 μ は通常「未知数」です。なので 「母平均 μ の代わりに、標本平均 Xm で代用する」のです。
しかも、①の計算に使っている σ （母集団の標準偏差）だって、本当は「未知数」なのです。従って「母分散 σ^2 が未知数なので、標本分散 s^2 で代用する」みたいなことをしないといけません。標本分散は、標本平均 Xm を使って計算されますね。

標本データの分散を計算するには「2乗偏差和」をデータ数 n で割ればよいのですが、「不偏分散」という「2乗偏差和」をデータ数 (n-1) で割ったものがあったことを思い出してください。この「標本のばらつき方から、母集団のばらつきを推定する」というときに「不偏分散」や「n-1」が出てきます。
カイ2乗分布の「自由度：n-1」もこれに類したものと考えればよいのではないかと思います。
カイ2乗分布自体が「ばらつき方の分布」なので、そういった考え方が入り込んできます。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/13 12:27

http://ogawas.cerp.u-toyama.ac.jp/e-stat/kai.html
をご覧下さい。
X1＋X２＋・・・＋Xn＝ｎ×Xmで、X1＋X２＋・・・＋X(n-1)まで決まると
Ｘnは自動的に決まるので、自由度はｎより1少なくなってｎ－１と解説されています。