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ラプラス変換後のsの意味って何なのでしょうか?

フーリエ変換については自分は下記のように理解しています。

「フーリエ変換の目的は時間t領域における関数f(t)から、周波数1/t(角周波数ω)領域における関数F(ω)へ表現の仕方を変え、角周波数成分の正弦波がもとのf(t)にどれだけ含まれていたのかを知ることである。

cos波、sin波をフーリエ変換するとそれぞれ実軸上、虚軸上にスペクトルが現れる。よって、Re[F(ω)]とIm[F(ω)]の比は、元の関数に含まれていた周波数がωの成分の正弦波がsin波とcos波のどちらに近いかを表している。100+jのように実部が大きければcos波に近く、1+100jのように虚部が大きければsin波に近い。

位相スペクトルφ(ω)=arg F(ω) は上記と同様の理由からcos波の要素を基準としたF(ω)の位相の進み具合を示している。φ(ω)=0,π,… ならcos波に、φ(ω)=π/2, 3π/2,… ならsin波に近い。

パワースペクトル|F(ω)|は元の関数f(t)に含まれていた周波数がω成分の正弦波の振幅の大きさを表しており、エネルギースペクトル|F(ω)|^2はそのω成分の正弦波の持つエネルギーを表している。」

しかし、ラプラス変換についてはあまり意味が読み取れません。フーリエ変換のtの積分範囲を-∞→∞から0→∞に変え、jω→s=σ+jω に変更しただけなので、意味合いはあまり変わらないような気もするのですが……

質問としては、ラプラス変換後の関数F(s)におけるsの意味を教えてください!また、もし|F(s)|やφ(s)=arg F(s) に関しても何かしら意味があるのでしたら教えていただきたいです。


<参考>
◎フーリエ変換
区間(-∞, ∞)で定義される時間関数f(t)が
  ∫(-∞→∞)|f(t)|dt<∞
を満たすとき、次の積分変換
  F(ω)=∫(-∞→∞)f(t)e^(-jωt)dt
が存在し、F(ω)をf(t)のフーリエ変換という。

◎ラプラス変換
0<tで定義された関数f(t)が、ある正の定数σ'に対して、
  |f(t)|≦Ke^(σ't) (Kはある定数)
が成り立つとき、複素数 s=σ+jω に対して次の積分
  F(s)=∫(0→∞)f(t)e^(-st)dt
はσ'<σとなるsに対して絶対収束し、F(s)をf(t)のラプラス変換という。

A 回答 (2件)

ラプラス変換は、時間tを複素数sに変換したものであり、sをラプラス演算子という。


(なぜsの文字を使うかは諸説ありよく分かっていない)
ラプラス演算子は、微分演算子の一種で、時間tの微分方程式を、sの代数方程式に変換し、計算することができる。

歴史的には、フーリエ変換から派生したものがラプラス変換になる。
ラプラス変換は、フーリエ変換の式にe^(-σt)という指数減衰項をかけることで、フーリエ変換では発散する関数も収束に持っていくことができる。
むろん全てではないが、収束条件はフーリエ変換よりも緩くなる。このe^(-σt)のことを収束因子と呼ぶ。

一方で、t<0の場合はe^(-σt)が逆に発散してしまうため、積分範囲を[0~∞)とし、t<0では関数は0とする制約がある。

物理では、t=0としたときの、ある時刻での振る舞いを知るケースがしばしば出てくる。
それらは微分方程式で表現されることが多いが、ラプラス変換はt=0としたときのある時刻の振る舞いを計算するのに向いている。
(というより、その目的で編み出された計算法というほうが正しいか)
これを「初期値問題」という。

乱暴な言い方をすれば、ラプラス変換は「初期値問題」を解くことに重点をおいた計算法になる。
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なぜ「意味」が必要なんでしょうか?


ラプラス変換法で微分方程式が解ければ、それで十分ではありませんか。
ラプラス変換における s の意味は、ラプラス変換の定義式に含まれており、
それ以上でもそれ以下でもありません。
そこに物語を求める発想は、個人的に嫌いではないけれど、無意味だと思います。
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