被積分関数がsin xや、cos xで、表されている時、 t＝tan t/2と置換すると、 毎回うま

被積分関数がsin xや、cos xで、表されている時、
t＝tan t/2と置換すると、
毎回うまく行くのですか？

また、それを使って、cos xの3乗分の１の積分もできますか？
やってみたのですが、∮（１− tの2乗）の3乗分の（１＋tの2乗）の2乗dtから、方針が立ちません。
教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/22 11:18

その置換は積分するための武器の一つです

他にも武器はあるので多数の武器を身に着けておくことです
三角関数の積の形の積分の武器はほかに、加法定理・倍角公式などを使って積の形から和の形にする「積と惜別」なんていうのも武器です

この問題では

cos xの3乗分の１の積分＝∫cosx/(cos⁴x)dx
=∫cosx/(1-sin²x)²dx
ここでsinx=tとおくと
cosxdx=dt
ゆえに積分の続き＝∫dt/(1-t²)²

などとして以下部分分数分解しておいて積分　なんていうのが私には思い浮かびます

この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2020/08/22 12:56

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2020/08/22 10:50

一般論で言えば、そもそも

∫f(x)dx=F(x)+C

みたいにインテグラルが外れる形のきれいな積分になる保証なんて何もないわけですから「それでうまく行く場合が多いけれどもうまく行かないかもしれない」ぐらいに思っておいた方がいいかもしれないと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/08/22 12:55