この定義と補足の定義はどちらが正しいですか？どちらが一般的ですか？

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質問者：genr
質問日時：2020/09/01 19:24
回答数：7件

この定義と補足の定義はどちらが正しいですか？
どちらが一般的ですか？

この定義です。

補足日時：2020/09/01 19:24
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補足の定義だと、fを偏微分して、それをさらに偏微分して…といったイメージではない(補足の定義だと、一階偏導関数は∂f/∂x_i_1,二階偏導関数は∂^2f/∂x_i_1∂x_i_2=∂x_i_1(∂f/∂x_2)となっており、一階偏導関数を微分して二階偏導関数になっているというイメージではない)のに対して、はじめの写真の定義だと、露骨にfをx_i_1で偏微分して、それをさらにx_i_2で偏微分して…となっています。

どちらが正しいですか？

補足日時：2020/09/01 19:32
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x_i_1が一方の定義では、1番左にあり、もう一方の定義では1番右にありますが、順番はもちろんどうでも良いですよね？これは、例えば、∂/∂x(∂f/∂y)と∂/∂y(∂f/∂x)がイコールかどうか(C^2級なら偏微分の順序によらないのでイコール)という問題とは無関係に、言えますよね？x_1とx_2は区別されるが、
x_i_1とx_i_2は区別されない(つまり、後者はどっちで先に偏微分したか分からない)ですよね？

補足日時：2020/09/02 14:59
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i_1からi_nは単なる文字例えばa,bなどと置き換えてもよく、添字に意味はないと思うのですが

補足日時：2020/09/05 10:55
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xの添字ではなくiの添字についてです。

補足日時：2020/09/05 10:56
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回答 (7件)

No.1

回答者： tknakamuri
回答日時：2020/09/02 00:29

>補足の定義だと、fを偏微分して、それをさらに偏微分して…といったイメージではない

4.4を見て、どうやったらそんなイメージになるのか
私にはさっぱりです。

もろに「fを偏微分して、それをさらに偏微分して」
と書いてあるように見えますが、

どう見たらそう見えないのか
説明して下さい。

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No.2

回答者： Tacosan
回答日時：2020/09/02 00:33

何の「定義」の話をしてるの?

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No.3

回答者： finalbento
回答日時：2020/09/02 03:32

そもそも「どちらが正しいのか(∵正解は一つだけだから)」と言う発想自体が間違っていると思います。

学問にはアイドルの総選挙のような人気投票で正解が決まると言う場合もあるわけですから、最低でも「両方正解かもしれない」と言う考えは持っておくべきだと思います。

高階とは要するに「微分する回数が多い」と言う事ですから「r階のうちrの階数が大きいものが高階」と言う事になりますが、一階や二階の場合にわざわざr階なんて言う事はまずないでしょうから「高階」と「r階」は実質的には同じ意味だと考えて差し支えないと思います。

PS:補足に書かれたものを読んで何を悩まれているかの予想は付きましたが、高階とr階の意味について何ら影響はありません。

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No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/09/02 08:22

そのふたつの定義は同値なので、

どちらが一般的でどちらが特殊ということはありません。
どちらの定義を採用しても他方を証明することができ、
一般性において同等です。

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No.5

回答者： tknakamuri
回答日時：2020/09/02 10:41

解説の説明と補足の定義の話なのかな？

とすると、微分の微分に見えないのは後者の方？
でも、質問の補足の文の数式と写真が合わないけど…

まあ、それは置いといて

偏微分で
∂f/∂x=(∂/∂x)f=∂/∂x(f)
は全部同じ意味。
(∂/∂x)(∂/y)f=∂/∂x(∂/∂y(f))
で、偏微分演算子は右結合優先で
微分対象と結びつくと考えるのが普通です。
#関数が右から左へ適用されるのと同じ
#例 (fｏg)(x)=f(g(x))
なので、2つの説明は同一です。