偏微分方程式を独学するのに必要な数学は？

偏微分方程式に興味があるので学習したいと思います。今までに大学初級程度の微積分、線形代数、ベクトル解析、常微分方程式は勉強しました。偏微分方程式を勉強するにあたって基礎となる必要な数学はあるでしょうか？例えば、ラプラス変換、フーリエ変換は必要でしようか？

No.3 ベストアンサー 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/09/24 14:43

> 大学初級程度の微積分、線形代数、ベクトル解析、常微分方程式は勉強しました。

ということであれば、まずは偏微分方程式の参考書を手に入れてどんどん勉強すればよろしい。その過程で不足している知識はわかるはず。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/09/23 17:20

「偏微分方程式の解き方」なんて一般論はありません。

偏微分方程式は「解けたら奇跡」ってぐらいのものです。たとえば流体力学の基礎方程式（ナビエ・ストークス方程式）は、「そもそも解が存在するかどうか」がミレニアム問題になってます。「一体、偏微分方程式の解って何なのか？」という所から問い直す必要があり、すなわちその偏微分方程式の未知関数が存在するべき関数空間を構成するための解析学がとりあえず必須です。たとえば「弱解」という概念を学ばねばなりません。
　線形ならなんとかなったりするんで、解ける偏微分方程式を解く方法に関する初歩的な教科書ならどっさりあります。たとえばフーリエ変換は、そもそも熱方程式（拡散方程式）を解くために開発されたのでした。（しかしフーリエ変換の収束性や漸近解析（フーリエ解析）だけでも随分の分量になる。）非線形の場合にもKdV方程式の厳密解に始まる「逆散乱法」などがありますけれども、大抵の非線形偏微分方程式には手が出ない。ならば陽に解くのは諦めて漸近的性質だけでも調べよう、あるいは数値計算で我慢しようとすると、いやそのためだけでも学ぶべき個別の理論がどっさりあります。
　偏微分方程式は今も盛んに、ありとあらゆる手段でアプローチされています。幾何学も代数学も整数論も組み合わせ数学も使って、それもただの応用ではなくて、この目的のために新規のアイデアが開発され続けています。だから
> 必要でしようか？
という問いはおそらく意味を持たない。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/22 23:17

常微分方程式のときもそうだと思うが、まずは偏微分の勉強が先。

フーリエ変換、ラプラス変換は、いずれも偏微分には直接関わらないので不要。
ざっくり説明すると、

フーリエ変換は時間の関数tを角周波数の関数ωに（相互）変換する方法
角周波数の関数ωに変換することで、複雑な波形を周期の異なるsin/cosの角周波数の関数に要素分解して取り扱いを容易にする。

ラプラス変換は時間の関数t(t≧0)を複素数sに（相互）変換して、常微分方程式を複素数sを使った代数式で解くための方法。