局所自明、多様体論

①π：Ｅ→Ｍ、π‘：Ｅ‘→Ｍが全射の時、ｐ∈Ｍの逆像π＾－１（ｐ）をＥｐ、Ｅ‘ｐと表す。φ：Ｅ→Ｅ‘において、任意のｐ∈Ｍについてφ（Ｅｐ）⊂Ｅ‘ｐが成り立つとき、φは「ファイバーを保つ」という。
②多様体間の滑らかな全射π：Ｅ→Ｍが局所自明で階数がｒであることとは次を満たすことである。 （ⅰ）ｐ∈Ｍについて各ファイバーＥｐがｒ次元ベクトル空間の構造を持つ
（ⅱ）各ｐ∈Ｍに対し、ｐの開近傍Ｕと「ファイバーを保つ微分同相写像」φ：π＾－１（Ｕ）→Ｕ×Ｒ＾ｒがあり、すべてのｑ∈Ｕについての制限φ❘π＾－１（ｑ）：π＾－１（ｑ）→｛ｑ｝×Ｒ＾ｒがベクトル空間の同型写像となっているものが存在する。 （疑問）（ⅱ）の「ファイバーを保つ微分同相写像」の①でいうπ‘というのが何か明示されていないのですが、具体的には何なのでしょうか？（wikiを調べましたが書かれていませんでした）

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/10/21 13:05

P(π,r):「πは局所自明で階数がｒである」

の定義、すなわち、(π,r)がP(π,r)を満たすための必要十分条件の話をしている。その中で「φ…があり」と言ってるのは、「πに対応するφ…があり」ということであり、すなわち、そのπに応じて「何らかのE', π‘, φが存在する。ただしそれらは①を満たすこと（さらに条件が付くわけだが）」って言うんでしょう。だから「具体的には何」という話じゃないと思われ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。解決できました。

お礼日時：2020/10/24 17:21