以下の①、②を用いて、背理法により素数が無限個存在することを示せ。 ①正の実数rについて、無限級数Σ

以下の①、②を用いて、背理法により素数が無限個存在することを示せ。
①正の実数rについて、無限級数Σ_[k=1]^[∞] 1/(k^r)はr>1のとき収束する。
②mを正の整数、p_1, p_2, ..., p_mを相異なる素数とし、Λ={(k_1, k_2, ..., k_m)|k_i∈Z, k_i≧0, 1≦i≦m}とする。このとき、無限級数Σ_[(k_1, k_2, ..., k_m)∈Λ] 1/[(p_1^(k_1)) (p_2^(k_2))... (p_m^(k_m))]は収束する。

この問題の解き方がわかりません。教えて下さいませんか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/02 03:28

上は有名なやつだし下は k_1, k_2, ..., k_m が全て独立に値をとれることから等比級数に持ち込めばいいんだろうけど...

でも, この 2つだけで「背理法により素数が無限個存在することを示」すのは無理じゃないかな.

この回答へのお礼

参考になります。ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/02 08:06