W1、W2<=R^nをそれぞれ同時連立一次方程式Ax=0、Bx=0の解空間とする時 rankA+ra

W1、W2<=R^nをそれぞれ同時連立一次方程式Ax=0、Bx=0の解空間とする時
rankA+rankB<nならば、W1かつW2 ≠(0)が成り立つことを示せという問題が分かりません
分かる方いらっしゃったら教えて下さい

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/02 02:23

dim W1 = dim Ker A = n - rank A,

dim W2 = dim Ker B = n - rank B　なので、
rank A + rank B < n より
dim W1 + dim W2 = 2n - (rank A + rank B)
　　　　　　　　> 2n - n = n.
また、
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1∩W2),
0 ≦ dim(W1 + W2) ≦ n　なので、
dim(W1∩W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 + W2)
　　　　　　　> n - n = 0.

dim(W1∩W2) ≠ 0 より
W1∩W2 ≠ { 0 } である。