集合族の定義で、集合の集合とするという定義と、写像とするという定義がありますが、両者の違いは何ですか

集合族の定義で、集合の集合とするという定義と、写像とするという定義がありますが、両者の違いは何ですか？

質問者からの補足コメント

• 集合族は、ある条件を満たす写像として定義されますよ。

    補足日時：2020/11/11 15:54

• 集合族が、ある条件を満たす写像でもなく、集合を元にもつ集合でもないという定義があるならば教えて下さい。

    補足日時：2020/11/11 15:56

• 回答ありがとうございます。
  
  集合族といっても、i≠jならばA_i≠A_jとなる場合とそうとは限らない場合があるということですか？

    補足日時：2020/11/11 23:07

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2020/11/12 10:07

場合というか集合族という言葉の定義次第。

単に集合族というと普通は集合の集合なので同じ集合が重複して現れることはない。
しかし添字付集合族は、集合論的には添字集合から集合族(集合)への写像になるので、複数の添字に同じ集合を対応付けることはできる。

自分の感覚だと、単に『集合族』と言ったら「集合の集合」で、『添字付集合族』は「添字集合から集合族への関数(写像)」だけど、文脈によっては添字付集合族を単に集合族と呼ぶこともあるかもね。あるいは添字なしに重複を許した「あつまり」になっている集合族もあるかもだけど、実際にそうやって扱っている文献などは知らないし、扱いづらそう。
何にせよ、この辺の用語の定義の詳細は文献や時代によっても変わるから、それで違いがありそうなら、今の文脈でどういう定義になっているかを確認することが大事でしょう。ついでに混乱しないように違うモノには違う名前を付ける。

この回答へのお礼

とても助かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/12 12:55

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2020/11/11 21:57

集合族の定義は例えば下記に。

# https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88 …

集合族の決まった数学的な定義はなく、具体的な定義は文脈で変わる感じです。感覚的には上記URLによると、「集合の集合」ではなく「集合のあつまり」ですよ。なんで「あつまり」かというと、文脈によっては同じ集合を重複して持つ場合※があったり、真の類になる場合があるからだそうです。
※ 言うまでもなく集合は同じ要素を重複して持ちません

通常あつかうのは部分集合族(ある集合の部分集合を要素とする集合)ですが、添字付の集合族を扱う場合もあり、これは添字集合から集合族への写像といえばそうですね。添字付集合族の場合は複数の添字が同じ集合を指すことが可能で、これが集合の場合と写像の場合の違いでしょうか。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/11 16:21

No.1は、ご質問の文が意味をなしていないと言ってるんです。

定義の話をするのに言葉を省略したんじゃどうにもならない。当たり前でしょ？
　実際、たとえ補足の

> 集合族は、ある条件を満たす写像として定義されます

が正しいと仮定しても、

> 集合族の定義で、… 写像とするという定義

はまた別のことを言ってますよね。


> 集合を元にもつ集合

は、また別のレベルで変なことを言っている。すなわち、標準的公理系であるZF系では、「集合を元にもたない集合」は空集合だけなんですよ。ある集合に元が存在すれば、その元はまた集合なんです。だから「集合を元にもつ集合」とは「空集合ではない集合」と同義です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/11 15:27

> 集合族の定義で、集合の集合とするという定義と、写像とするという定義

どっちも定義になっていないという点は共通なんで、「両者の違い」は文字の数とか？